Задание №14 Т/Р №168 А. Ларина

2016-10-26

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1.

На ребре AA_1 отмечена точка M так, что A_1M:AM=1:3. Через точки M и B_1 параллельно AD_1 проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F_1.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости Ω, если AB=2,AA_1=4.

Решение:

a) Плоскость Ω  имеет общую точку M с плоскостью ADD_1. Потому будет и общая прямая (назовем ее l) у плоскостей  Ω, ADD_1, причем эта линия l пересечения будет параллельна AD_1. Действительно, если допустить, что l пересекается с AD_1, то AD_1 имеет общую точку с Ω, что противоречит условию.

Итак, пусть l, параллельная AD_1, пересекается с A_1D_1 в точке T. Треугольники A_1TM,A_1D_1A подобны по двум углам, а значит, A_1T:A_1D_1=A_1M:A_1A. Но по условию A_1M:A_1A =1:4.

При этом стоит заметить, что прямая A_1D_1, пересекаясь с прямой B_1F_1, делится ею в отношении 1:4, считая от  вершины A_1.

Из чего следует, что прямая B_1T совпадет с прямой B_1F_1.

Итак, плоскость  Ω – плоскость треугольника MB_1F_1, плоскость Ω содержит точку F_1.

б) Расстояние от точки A до плоскости  Ω будем искать координатным способом.

Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.

Расстояние  \rho от точки A до плоскости  Ω будем вычислять по формуле

\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

где (x_0;y_0;z_0) – координаты точки A, плоскость  Ω задается уравнением Ax+By+Cz+D=0.

Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:

A(0;0;0),M(0;0;3),B_1(\sqrt3;-1;4),F_1(0;2;4).

Составим уравнение плоскости B_1MF_1:

\begin{cases} c\cdot 3+d=0,& &a\cdot \sqrt3 +b\cdot (-1)+c\cdot 4+d=0,& &b\cdot 2+c\cdot 4+d=0;& \end{cases}

\begin{cases} d=-3c,& &a=-\frac{\sqrt3 c}{2},& &b=-\frac{c}{2};& \end{cases}

Тогда уравнение плоскости B_1MF_1 примет вид:

-\frac{\sqrt3 cx}{2}-\frac{cy}{2}+cz-3c=0

или

-\frac{\sqrt3 x}{2}-\frac{y}{2}+z-3=0

То есть A=-\frac{\sqrt3 }{2},B=-\frac{1}{2},C=1, D=-3.

Итак,

\rho=\frac{|-3|}{\sqrt{(-\frac{\sqrt3 }{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt2}{2}.

Ответ: б)  \frac{3\sqrt2}{2}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. надежда

    Добрый день ! Вторую часть можно решить проще, как расстояние от точки до плоскости заменив на расстояние от любой точки , лежащей на прямой , параллельной плоскости , т е от точки пересечения диагоналей прямоугольника адд1а1 , который оказывается квадратом, до прямой тм, через подобие треугольников д1а1а и тма1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Добрый день!
      Надежда, спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif