27 Окт 2016

Категория: 14 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

Задание №14 Т/Р №168 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-27 2016-10-26

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ .

На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $A_1M:AM=1:3$ . Через точки $M$ и $B_1$ параллельно $AD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину $F_1$ .
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости Ω, если $AB=2,AA_1=4.$

Решение:

a) Плоскость Ω имеет общую точку $M$ с плоскостью $ADD_1.$ Потому будет и общая прямая (назовем ее $l$ ) у плоскостей Ω, $ADD_1,$ причем эта линия $l$ пересечения будет параллельна $AD_1$ . Действительно, если допустить, что $l$ пересекается с $AD_1,$ то $AD_1$ имеет общую точку с Ω, что противоречит условию.

Итак, пусть $l$ , параллельная $AD_1$ , пересекается с $A_1D_1$ в точке $T.$ Треугольники $A_1TM,A_1D_1A$ подобны по двум углам, а значит, $A_1T:A_1D_1=A_1M:A_1A$ . Но по условию $A_1M:A_1A =1:4.$

При этом стоит заметить, что прямая $A_1D_1,$ пересекаясь с прямой $B_1F_1,$ делится ею в отношении $1:4,$ считая от вершины $A_1$ .

Из чего следует, что прямая $B_1T$ совпадет с прямой $B_1F_1.$

Итак, плоскость Ω – плоскость треугольника $MB_1F_1$ , плоскость Ω содержит точку $F_1.$

09ui

б) Расстояние от точки $A$ до плоскости Ω будем искать координатным способом.

Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.

Расстояние $\rho$ от точки $A$ до плоскости Ω будем вычислять по формуле

$\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $A$ , плоскость Ω задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:

$A(0;0;0),M(0;0;3),B_1(\sqrt3;-1;4),F_1(0;2;4).$

Составим уравнение плоскости $B_1MF_1:$

$\begin{cases} c\cdot 3+d=0,& &a\cdot \sqrt3 +b\cdot (-1)+c\cdot 4+d=0,& &b\cdot 2+c\cdot 4+d=0;& \end{cases}$

$\begin{cases} d=-3c,& &a=-\frac{\sqrt3 c}{2},& &b=-\frac{c}{2};& \end{cases}$

Тогда уравнение плоскости $B_1MF_1$ примет вид:

$-\frac{\sqrt3 cx}{2}-\frac{cy}{2}+cz-3c=0$

или

$-\frac{\sqrt3 x}{2}-\frac{y}{2}+z-3=0$

То есть $A=-\frac{\sqrt3 }{2},B=-\frac{1}{2},C=1, D=-3.$

Итак,

$\rho=\frac{|-3|}{\sqrt{(-\frac{\sqrt3 }{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt2}{2}.$

Ответ: б) $\frac{3\sqrt2}{2}.$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

надежда

2016-10-31 в 15:59

Добрый день ! Вторую часть можно решить проще, как расстояние от точки до плоскости заменив на расстояние от любой точки , лежащей на прямой , параллельной плоскости , т е от точки пересечения диагоналей прямоугольника адд1а1 , который оказывается квадратом, до прямой тм, через подобие треугольников д1а1а и тма1

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-10-31 в 17:54
  
  Добрый день!
  Надежда, спасибо!
  
  [ Ответить ]

Задание №14 Т/Р №168 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ