Задание №14 Т/Р №168 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $A_1M:AM=1:3$. Через точки $M$ и $B_1$ параллельно $AD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину $F_1$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости Ω, если $AB=2,AA_1=4.$

Решение:

a) Плоскость Ω  имеет общую точку $M$ с плоскостью $ADD_1.$ Потому будет и общая прямая (назовем ее $l$) у плоскостей  Ω, $ADD_1,$ причем эта линия $l$ пересечения будет параллельна $AD_1$. Действительно, если допустить, что $l$ пересекается с $AD_1,$ то $AD_1$ имеет общую точку с Ω, что противоречит условию.

Итак, пусть $l$, параллельная $AD_1$, пересекается с $A_1D_1$ в точке $T.$ Треугольники $A_1TM,A_1D_1A$ подобны по двум углам, а значит, $A_1T:A_1D_1=A_1M:A_1A$. Но по условию $A_1M:A_1A =1:4.$

При этом стоит заметить, что прямая $A_1D_1,$ пересекаясь с прямой $B_1F_1,$ делится ею в отношении $1:4,$ считая от  вершины $A_1$.

Из чего следует, что прямая $B_1T$ совпадет с прямой $B_1F_1.$

Итак, плоскость  Ω – плоскость треугольника $MB_1F_1$, плоскость Ω содержит точку $F_1.$

б) Расстояние от точки $A$ до плоскости  Ω будем искать координатным способом.

Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.

Расстояние  $\rho$ от точки $A$ до плоскости  Ω будем вычислять по формуле

$\large\rho=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

где $(x_0;y_0;z_0)$ – координаты точки $A$, плоскость  Ω задается уравнением $Ax+By+Cz+D=0.$

Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:

$A(0;0;0),M(0;0;3),B_1(\sqrt3;-1;4),F_1(0;2;4).$

Составим уравнение плоскости $B_1MF_1:$

$\begin{cases}c\cdot 3+d=0,\\a\cdot \sqrt3 +b\cdot (-1)+c\cdot 4+d=0,\\b\cdot 2+c\cdot 4+d=0;&\end{cases}$

$\begin{cases}d=-3c,\\a=-\frac{\sqrt3 c}{2},\\b=-\frac{c}{2};&\end{cases}$

Тогда уравнение плоскости $B_1MF_1$ примет вид:

$-\frac{\sqrt3 cx}{2}-\frac{cy}{2}+cz-3c=0$

или

$-\frac{\sqrt3 x}{2}-\frac{y}{2}+z-3=0$

То есть $A=-\frac{\sqrt3 }{2},B=-\frac{1}{2},C=1, D=-3.$

Итак,

$\large\rho=\frac{|-3|}{\sqrt{(-\frac{\sqrt3 }{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt2}{2}.$

Ответ: б)  $\frac{3\sqrt2}{2}.$