Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина
14. Дана правильная шестиугольная призма .
На ребре отмечена точка
так, что
. Через точки
и
параллельно
проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости Ω, если
Решение:
a) Плоскость Ω имеет общую точку с плоскостью
Потому будет и общая прямая (назовем ее
) у плоскостей Ω,
причем эта линия
пересечения будет параллельна
. Действительно, если допустить, что
пересекается с
то
имеет общую точку с Ω, что противоречит условию.
Итак, пусть , параллельная
, пересекается с
в точке
Треугольники
подобны по двум углам, а значит,
. Но по условию
При этом стоит заметить, что прямая пересекаясь с прямой
делится ею в отношении
считая от вершины
.
Из чего следует, что прямая совпадет с прямой
Итак, плоскость Ω – плоскость треугольника , плоскость Ω содержит точку
б) Расстояние от точки до плоскости Ω будем искать координатным способом.
Введем прямоугольную декартовую систему координат так, как показано на рисунке.
Расстояние от точки
до плоскости Ω будем вычислять по формуле
где – координаты точки
, плоскость Ω задается уравнением
Перечислим координаты необходимых для вычисления точек:
Составим уравнение плоскости
Тогда уравнение плоскости примет вид:
или
То есть
Итак,
Ответ: б)
Добрый день ! Вторую часть можно решить проще, как расстояние от точки до плоскости заменив на расстояние от любой точки , лежащей на прямой , параллельной плоскости , т е от точки пересечения диагоналей прямоугольника адд1а1 , который оказывается квадратом, до прямой тм, через подобие треугольников д1а1а и тма1
Добрый день!
Надежда, спасибо!