Задание №14 Т/Р №181 А. Ларина

2017-01-24

Смотрите также №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

14. В правильной пирамиде SABC ребра AB=2, SC=3. Через среднюю линию MN треугольника ABC, параллельную AB, проведено сечение минимальной площади пирамиды SABC, пересекающее ребро SC.
А) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру SC.

Б) Найдите площадь этого сечения.

Решение:

а) Заметим, в силу того, что пирамида SABC правильная, – вершина пирамиды S проецируется в центр (точку O)  треугольника ABC (правильного).

Раз сечение проходит через точки M,N и некоторую точку T ребра SC, в сечении – треугольник MNT. Причем треугольник – равнобедеренный. Если K – середина MN, то KT\perp NM.

Площадь треугольника MNT зависит от двух величин – NM и KT, одна из которых (MN) – величина постоянная. Минимальная площадь сечения – при минимальном значении KT. Поскольку точка K – фиксированная, то KT имеет минимальную длину в случае, если KT\perp SC.

Заметим, SC\perp AB, поскольку проекция CH (H – середина AB) прямой SC на плоскость ABC перпендикулярна AB (применена теорема от трех перпендикулярах).

Итак, SC\perp KT и SC\perp AB, что говорит о том, что SC\perp (NMT) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, так как коэффициент подобия треугольников ABO,NMO2, то OK=\frac{HO}{2}. Учитывая свойство медиан треугольника (CO:OH=2:1), получаем, что OK=\frac{CH}{6}=\frac{OC}{4}.

При этом CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt3.

Так как

S_{MNT}=\frac{MN\cdot KT}{2}=\frac{1\cdot KT}{2}=\frac{KT}{2}, то

необходимо найти KT.

S_{SKC}=\frac{KT\cdot SC}{2}, при этом S_{SKC}=S_{SCO}-S_{SOK}=\frac{OS\cdot OC}{2}-\frac{OS\cdot OK}{2}=\frac{OS}{2}\cdot (OC-\frac{OC}{4})=

=\frac{OS}{2}\cdot \frac{3OC}{4}=\frac{3OS\cdot OC}{8}=\frac{3\sqrt{3^2-(\frac{2\sqrt3}{3})^2}}{8}\cdot \frac{2\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt{23}}{4}.

Тогда KT=\frac{2S_{SKC}}{SC}=\frac{\frac{\sqrt{23}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{6}.

Наконец, S_{MNT}=\frac{KT}{2}=\frac{\sqrt{23}}{12}.

Ответ: \frac{\sqrt{23}}{12}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif