Задание №14 Т/Р №181 А. Ларина

Елена Репина 2017-01-26 2017-01-24

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина

14. В правильной пирамиде $SABC$ ребра $AB=2$ , $SC=3$ . Через среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$ , параллельную $AB$ , проведено сечение минимальной площади пирамиды $SABC$ , пересекающее ребро $SC.$
А) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру $SC$ .

Б) Найдите площадь этого сечения.

Решение:

а) Заметим, в силу того, что пирамида $SABC$ правильная, – вершина пирамиды $S$ проецируется в центр (точку $O$ ) треугольника $ABC$ (правильного).

Раз сечение проходит через точки $M,N$ и некоторую точку $T$ ребра $SC,$ в сечении – треугольник $MNT.$ Причем треугольник – равнобедеренный. Если $K$ – середина $MN,$ то $KT\perp NM.$

Площадь треугольника $MNT$ зависит от двух величин – $NM$ и $KT,$ одна из которых ( $MN$ ) – величина постоянная. Минимальная площадь сечения – при минимальном значении $KT.$ Поскольку точка $K$ – фиксированная, то $KT$ имеет минимальную длину в случае, если $KT\perp SC.$

Заметим, $SC\perp AB,$ поскольку проекция $CH$ ( $H$ – середина $AB$ ) прямой $SC$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна $AB$ (применена теорема от трех перпендикулярах).

Итак, $SC\perp KT$ и $SC\perp AB,$ что говорит о том, что $SC\perp (NMT)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Что и требовалось доказать.

76hg

б) Заметим, так как коэффициент подобия треугольников $ABO,NMO$ – $2,$ то $OK=\frac{HO}{2}.$ Учитывая свойство медиан треугольника ( $CO:OH=2:1$ ), получаем, что $OK=\frac{CH}{6}=\frac{OC}{4}.$