Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина
14. В правильной пирамиде ребра
,
. Через среднюю линию
треугольника
, параллельную
, проведено сечение минимальной площади пирамиды
, пересекающее ребро
А) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру .
Б) Найдите площадь этого сечения.
Решение:
а) Заметим, в силу того, что пирамида правильная, – вершина пирамиды
проецируется в центр (точку
) треугольника
(правильного).
Раз сечение проходит через точки и некоторую точку
ребра
в сечении – треугольник
Причем треугольник – равнобедеренный. Если
– середина
то
Площадь треугольника зависит от двух величин –
и
одна из которых (
) – величина постоянная. Минимальная площадь сечения – при минимальном значении
Поскольку точка
– фиксированная, то
имеет минимальную длину в случае, если
Заметим, поскольку проекция
(
– середина
) прямой
на плоскость
перпендикулярна
(применена теорема от трех перпендикулярах).
Итак, и
что говорит о том, что
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, так как коэффициент подобия треугольников –
то
Учитывая свойство медиан треугольника (
), получаем, что
При этом
Так как
то
необходимо найти
при этом
Тогда
Наконец,
Ответ:
Добавить комментарий