Задание №14 Т/Р №183 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина 

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ ребро основания $AB$ равно $2$, а боковое ребро $AS$ равно $\sqrt5.$ Через точки $S$, $A$ и середину стороны $BC$ – точку $K$ проведено сечение.

Найдите

а) Площадь сечения.

б) Косинус угла между сечением и плоскостью $ABC$. 

Решение:

a) Так как пирамида правильная, то вершина $S$ проецируется в центр $O$ треугольника $ABC.$

$O$ – точка пересечения медиан (высот) треугольника $ABC.$

$AK=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ (из $\Delta AKC$)

$AO=\frac{2}{3}AK=\frac{2\sqrt3}{3}$ (по свойству медиан)

$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{5-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{11}{3}}$ (из $\Delta ASO$)

$S_{ASK}=\frac{SO\cdot AK}{2}=\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}\cdot \sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2}.$

б) По признаку перпендикулярности двух плоскостей $(ABC)\perp (ASK),$ так как плоскость $(ASK)$ содержит прямую $SO$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$. То есть косинус угла между плоскостями сечения и $ABC$, как косинус $90^{\circ}$ – есть $0.$

Ответ: а) $\frac{\sqrt{11}}{2}$; б) $0.$