Задание №14 Т/Р №196 А. Ларина

Елена Репина 2017-05-10 2017-05-10

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

14. В основании пирамиды $PABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ( $AC=BC$ ). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка $K$ – середина $AB$ . В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью $APB$ лежит на прямой $PK$ .

б) Найдите радиус сферы, если известно, что $AB=6,BC=5,KP=4$ .

Решение:

a) Пусть $O$ – центр сферы.

Заметим, так как треугольник $APB$ равнобедренный, то медиана $PK$ – высота треугольника $APB.$ Аналогично $CK$ – медиана, высота и биссектриса треугольника $ABC.$

Заметим, $O$ лежит в плоскости $PCK$ – биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями $ACP,BCP.$

Заметим также, так как все боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания, назовем его $H.$ Очевидно, $H$ принадлежит $CK.$

Плоскость $PCK$ при этом перпендикулярна плоскости $ABP,$ так как в плоскости $ABP$ содержится перпендикуляр $AB$ к плоскости $PCK$ (действительно, $AB\perp CK,AB\perp PH$ ).

Если $T$ – точка касания сферы с гранью $ABP,$ то $OT\perp ABP.$ Допустим, точка $T$ не принадлежит прямой $PK.$ Но по свойству перпендикулярных плоскостей можно провести из точки $O$ перпендикуляр $OT_1$ к $PK$ и он окажется перпендикуляром к плоскости $ABP.$ Но тогда треугольник $OTT_1$ содержит два прямых угла – противоречие. То есть $T$ совпадает с $T_1$ и лежит на $PK.$