Задание №14 Т/Р №196 А. Ларина

2017-05-10

Смотрите также №13; №15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

14. В основании пирамиды PABC лежит равнобедренный треугольник ABC (AC=BC). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка K – середина AB. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью APB лежит на прямой PK.

б) Найдите радиус сферы, если известно, что AB=6,BC=5,KP=4.

Решение:

a) Пусть O – центр сферы.

Заметим, так как треугольник APB равнобедренный, то  медиана PK – высота  треугольника APB. Аналогично CK – медиана, высота и биссектриса треугольника ABC.

Заметим, O лежит в плоскости PCK – биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями ACP,BCP.

Заметим также, так как все боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется  в центр описанной окружности около основания, назовем его H. Очевидно, H принадлежит  CK.

Плоскость PCK при этом перпендикулярна  плоскости ABP, так как в плоскости ABP содержится перпендикуляр AB к плоскости PCK  (действительно, AB\perp CK,AB\perp PH).

Если T – точка касания сферы с гранью ABP, то  OT\perp ABP. Допустим, точка T не принадлежит прямой PK. Но по свойству перпендикулярных плоскостей можно провести из точки O перпендикуляр OT_1 к PK и он окажется перпендикуляром к плоскости ABP. Но тогда треугольник OTT_1 содержит два прямых угла – противоречие. То есть T совпадает с T_1 и лежит на PK.

Что и требовалось доказать.

б) 

Будем использовать формулу

V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot r

(V,\;S – объем, площадь поверхности пирамиды, r – радиус вписанной сферы).

R=AH=CH=\frac{AC\cdot BC\cdot AB}{4S}=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4S}=\frac {25}{8}.

KH=KC-CH=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}.

Из треугольника KPH:

 PH=\sqrt{KP^2-KH^2}=\sqrt{16-\frac{49}{64}}=\frac{5\sqrt{39}}{8}.

Тогда

V_{ABCP}=\frac{12\cdot \frac{5\sqrt{39}}{8}}{3}=\frac{5\sqrt{39}}{2}.

S=S_{ABC}+S_{ABP}+2S_{ACP}=12+12+2\cdot \frac{25\sqrt3}{4}=24+\frac{25\sqrt3}{2}.

Итак,

r=\frac{\frac{3\cdot 5\sqrt{39}}{2}}{24+\frac{25\sqrt3}{2}}=\frac{15\sqrt{39}}{48+25\sqrt3}}.

Ответ: б) \frac{15\sqrt{39}}{48+25\sqrt3}}.

 

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семь − четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif