Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.
14. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
, в котором
. Известно, что боковая грань
перпендикулярна
основанию ,
, а высота пирамиды, проведенная из точки
, равна
. На ребрах
и
отмечены соответственно точки
и
так, что
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость .
Решение:
a) По условию грань перпендикулярна плоскости основания, значит, если из точки
опустить перпендикуляр
к линии пересечения плоскостей
(к
), то
по свойству перпендикулярных плоскостей. То есть
– высота пирамиды.
При этом – середина
так как
по условию (треугольники
равны по гипотенузе и катету).
1) Из треугольника по теореме косинусов:
2) В силу подобия треугольников (коэффициент подобия –
)
3) Из прямоугольного треугольника (
)
4) Из треугольника по теореме Пифагора
Замечаем, что медиана треугольника
равна половине стороны
к которой она проведена. Значит, треугольник
– прямоугольный.
Что и требовалось доказать.
б) Найдем объем пирамиды с основанием
Заметим, высота указанной пирамиды – (
).
Так как
то
Меньшая по площади часть пирамиды , на которые её делит плоскость
, как видим, есть пирамида
объем которой нами найден и составляет
Ответ: б)
Добавить комментарий