Задание №14 Т/Р №204 А. Ларина

2017-10-16

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

14. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=4,\angle BAC=120^{\circ}. Известно, что боковая грань SBC перпендикулярна

основанию ABC,  SB=SC, а высота пирамиды, проведенная из точки S, равна 2\sqrt{11} . На ребрах SB и SC отмечены соответственно точки K и P так, что BK:SK=CP=SP=1:3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью APK является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость APK.

Решение:

a) По условию  грань SBC перпендикулярна плоскости основания, значит, если из точки S опустить перпендикуляр SH к линии пересечения плоскостей ABC,SBCBC), то SH\perp ABC по свойству перпендикулярных плоскостей.  То есть SH – высота пирамиды.

При этом H – середина BC, так как SB=SC по условию (треугольники BSH,CSH равны по гипотенузе и катету).

1) Из треугольника ABC по теореме косинусов:

BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot cosA;

BC=4\sqrt3.

2) В силу подобия треугольников SBC,SKP  (коэффициент подобия – \frac{3}{4})

KP=\frac{3}{4}\cdot BC=3\sqrt3.

3) Из прямоугольного треугольника ACH (\angle C=30^{\circ})

AH=\frac{AC}{2}=2.

4) Из треугольника THA по теореме Пифагора

TA=\sqrt{TH^2+AH^2}=\frac{3\sqrt3}{2}.

Замечаем, что медиана AT треугольника KAP равна половине стороны KP, к которой она проведена. Значит, треугольник KAP – прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

б) Найдем объем пирамиды ASKP с основанием SKP.

Заметим, высота указанной пирамиды – AH (AH\perp BC,AH\perp SH).

V_{ASKP}=\frac{1}{3}\cdot S_{SKP}\cdot AH=\frac{1}{3}\cdot \frac{9S_{SBC}}{16}\cdot AH=

=\frac{3S_{SBC}}{8}=\frac{3\sqrt{33}}{2}.

Так как

V_{ABCS}=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt3\cdot 2\sqrt{11}=\frac{8\sqrt{33}}{3}, то

V_{AKPCB}=V_{ABCS}-V_{ASKP}=\frac{8\sqrt{33}}{3}-\frac{3\sqrt{33}}{2}=\frac{7\sqrt{33}}{6}.

Меньшая по площади часть пирамиды SABC, на которые её делит плоскость APK, как видим, есть пирамида AKPCB, объем которой нами найден и составляет \frac{7\sqrt{33}}{6}.

Ответ: б) \frac{7\sqrt{33}}{6}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

6 − 2 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif