Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.
14. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник
, длина
стороны которого равна . Боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания и имеет длину
.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку и середину ребра
, а другая проходит через точку
и середину ребра
равен
.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
Решение:
a) Пусть – середины
и
соответственно. Пусть
– середина
Тогда
Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, значит прямая
перпендикулярна любой прямой плоскости
(из
).
(из
по т. Косинусов).
(из
).
(из
).
(из
).
Наконец, для треугольника по теореме Косинусов:
Итак, тогда угол между прямыми
, а значит и между прямыми
равен
Что и требовалось доказать.
б) Расстояние между прямыми – расстояние от любой точки прямой
(например, от
) до плоскости
параллельной прямой
Пусть – перпендикуляр к прямой
По теореме о трех перпендикулярах и
Таким образом, плоскость
содержащая перпендикуляр
к плоскости
перпендикулярна плоскости
(по признаку перпендикулярности плоскостей).
По свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр (
) в плоскости
к
будет и перпендикуляром к плоскости
Итак, искомое расстояние – это длина отрезка
Ответ:
Добавить комментарий