Задание №14 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-07

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

14. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина

стороны которого равна 4\sqrt2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB равен 45^{\circ}.

б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Решение:

a) Пусть  M,N – середины BC и AB соответственно. Пусть P – середина NB. Тогда PM\parallel NC.

\angle (CN,SM)=\angle (PM,SM).

Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания, значит прямая SC перпендикулярна любой прямой плоскости ABC.

SM=\sqrt{MC^2+CS^2}=\sqrt{(2\sqrt2)^2+2^2}=\sqrt{12} (из \Delta MCS).

PM=\sqrt{PB^2+BM^2-2PB\cdot BMcos B}=\sqrt{2+8-2\sqrt2\sqrt8\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{6} (из \Delta PMB по т. Косинусов).

NC=\sqrt{BC^2-NB^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}. (из \Delta NCB).

PC=\sqrt{NC^2+NP^2}=\sqrt{2+24}=\sqrt{26} (из  \Delta NPC).

PS=\sqrt{PC^2+CS^2}=\sqrt{26+4}=\sqrt{30} (из  \Delta PCS).

Наконец, для треугольника PMS по теореме Косинусов:

PS^2=PM^2+MS^2-2PM\cdot MS\cdot cosPMS;

cosPMS=\frac{PM^2+MS^2-PS^2}{2PM\cdot MS}=\frac{6+12-30}{2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{12}}=-\frac{\sqrt2}{2}.

Итак, \angle PMS=135^{\circ}, тогда угол между прямыми PN,SM, а значит и между прямыми CN,SM равен 45^{\circ}.

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние между прямыми CN,SM – расстояние от любой точки прямой CN (например, от C) до плоскости PSM, параллельной  прямой CN.

Пусть CQ – перпендикуляр к  прямой PM.  По теореме о трех перпендикулярах и SQ\perp PM. Таким образом, плоскость PSQ, содержащая перпендикуляр PQ к плоскости CQS, перпендикулярна плоскости  CQS (по признаку перпендикулярности плоскостей).
По свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр CH (H\in SQ) в плоскости CQS к SQ будет и перпендикуляром к плоскости PQS.

Итак, искомое расстояние – это длина отрезка CH.

\Delta CSQ:

CQ=\sqrt2,  SQ=\sqrt{2^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt6.

CH=\frac{CS\cdot CQ}{SQ}=\frac{2\cdot \sqrt2}{\sqrt6}=\frac{2\sqrt3}{3}.

Ответ: \frac{2\sqrt3}{3}.

 

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

17 − 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif