Задание №14 Т/Р №210 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

14. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, длина

стороны которого равна $4\sqrt2$. Боковое ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $2$.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $BC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$ равен $45^{\circ}$.

б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Решение:

a) Пусть  $M,N$ – середины $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $P$ – середина $NB.$ Тогда $PM\parallel NC.$

$\angle (CN,SM)=\angle (PM,SM).$

Боковое ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания, значит прямая $SC$ перпендикулярна любой прямой плоскости $ABC.$

$SM=\sqrt{MC^2+CS^2}=\sqrt{(2\sqrt2)^2+2^2}=\sqrt{12}$ (из $\Delta MCS$).

$PM=\sqrt{PB^2+BM^2-2PB\cdot BMcos B}=\sqrt{2+8-2\sqrt2\sqrt8\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{6}$ (из $\Delta PMB$ по т. Косинусов).

$NC=\sqrt{BC^2-NB^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}.$ (из $\Delta NCB$).

$PC=\sqrt{NC^2+NP^2}=\sqrt{2+24}=\sqrt{26}$ (из  $\Delta NPC$).

$PS=\sqrt{PC^2+CS^2}=\sqrt{26+4}=\sqrt{30}$ (из  $\Delta PCS$).

Наконец, для треугольника $PMS$ по теореме Косинусов:

$PS^2=PM^2+MS^2-2PM\cdot MS\cdot cosPMS;$

$cosPMS=\frac{PM^2+MS^2-PS^2}{2PM\cdot MS}=\frac{6+12-30}{2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{12}}=-\frac{\sqrt2}{2}.$

Итак, $\angle PMS=135^{\circ},$ тогда угол между прямыми $PN,SM$, а значит и между прямыми $CN,SM$ равен $45^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние между прямыми $CN,SM$ – расстояние от любой точки прямой $CN$ (например, от $C$) до плоскости $PSM,$ параллельной  прямой $CN.$

Пусть $CQ$ – перпендикуляр к  прямой $PM.$  По теореме о трех перпендикулярах и $SQ\perp PM.$ Таким образом, плоскость $PSQ,$ содержащая перпендикуляр $PQ$ к плоскости $CQS,$ перпендикулярна плоскости  $CQS$ (по признаку перпендикулярности плоскостей).
По свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр $CH$ ($H\in SQ$) в плоскости $CQS$ к $SQ$ будет и перпендикуляром к плоскости $PQS.$

Итак, искомое расстояние – это длина отрезка $CH.$

$\Delta CSQ:$

$CQ=\sqrt2,$  $SQ=\sqrt{2^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt6.$

$CH=\frac{CS\cdot CQ}{SQ}=\frac{2\cdot \sqrt2}{\sqrt6}=\frac{2\sqrt3}{3}.$

Ответ: $\frac{2\sqrt3}{3}.$