Задание №14 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-22

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

14. В правильной пирамиде PABCD на ребрах AB и PD взяты точки M и K соответственно, причем AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.

а) Докажите, что прямая BP параллельна плоскости MCK.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MCK, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.

Решение:

а) Построим сечение пирамиды PABCD плоскостью MCK.

Пусть MC пересекается с AD  в точке L. Пусть LK пересекается с AP в точке T. MTKC – искомое сечение.

Пусть BD пересекается с MC в точке N. Покажем, что NK\parallel BP, что по признаку параллельности прямой и плоскости и будет означать, что BP\parallel MCK.

Из подобия треугольников BNM,DNC (по двум углам) следует, что BN:ND=BM:CD=3:4. Тогда ND:BD=3:7.

По условию KD:PD=3:7.

По второму признаку подобия треугольники KND,PDB подобны, откуда следует, например, что \angle KND=\angle PBD, то есть NK\parallel BP.

б) Заметим, по свойству параллельности прямой и плоскости, раз BP\parallel MCK, то плоскость BPA пересечет MCK по прямой, параллельной BP, то есть BP\parallel MT.

Будем искать площадь сечения MTKC как сумму площадей трапеции MTKN и треугольника NKC, а площадь трапеции  MTKN как разность площадей подобных треугольников LKN и треугольника LMT.

Заметим, так как LM:LN=MT:NK=\frac{BP}{4}:\frac{4BP}{7}=7:16, то площади подобных треугольников LMT, LNK относятся как 49:256. То есть S_{MTKN}=\frac{207}{49}S_{LMT}.

Заметим также, что  S_{NKC}:S_{LKN}=NC:LN=3:4. То есть S_{NKC}=\frac{3S_{LKN}}{4}=\frac{3}{4}\cdot \frac{256S_{LMT}}{49}=\frac{192}{49}S_{LMT}.

Итак, S_{MTKC}=\frac{207}{49}S_{LMT}+\frac{192}{49}S_{LMT}=\frac{57}{7}S_{LMT}.

Найдем стороны треугольника LMT:

LM=\frac{MC}{3}=\frac{\sqrt{BC^2+BM^2}}{3}=\frac{5}{3}.

MT=1.

LT=\sqrt{LA^2+TA^2-2LA\cdot TA\cdot cos120^{\circ}}=\sqrt{\frac{16}{9}+1+\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{37}}{3}.

Учитывая, что

 p_{LMT}=\frac{\frac{5}{3}+1+\frac{\sqrt{37}}{3}}{2}=\frac{8+\sqrt{37}}{6},

имеем:

S_{LMT}=\sqrt{\frac{8+\sqrt{37}}{6}(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-\frac{\sqrt{37}}{3})(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-\frac{5}{3})(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-1})}=

=\sqrt{\frac{8+\sqrt{37}}{6}\cdot \frac{8-\sqrt{37}}{6}\cdot \frac{\sqrt{37}-2}{6}\cdot \frac{\sqrt{37}+2}{6}}=\frac{\sqrt{11}}{4}.

Наконец, S_{MTKC}=\frac{57}{7}S_{LMT}=\frac{57\sqrt{11}}{28}.

Ответ: \frac{57\sqrt{11}}{28}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × 1 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif