Задание №14 Т/Р №212 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-23 2017-11-22

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

14. В правильной пирамиде $PABCD$ на ребрах $AB$ и $PD$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.$

а) Докажите, что прямая $BP$ параллельна плоскости $MCK$ .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $MCK$ , если известно, что все ребра пирамиды равны $4$ .

Решение:

а) Построим сечение пирамиды $PABCD$ плоскостью $MCK.$

Пусть $MC$ пересекается с $AD$ в точке $L.$ Пусть $LK$ пересекается с $AP$ в точке $T.$ $MTKC$ – искомое сечение.

Пусть $BD$ пересекается с $MC$ в точке $N.$ Покажем, что $NK\parallel BP,$ что по признаку параллельности прямой и плоскости и будет означать, что $BP\parallel MCK.$

Из подобия треугольников $BNM,DNC$ (по двум углам) следует, что $BN:ND=BM:CD=3:4.$ Тогда $ND:BD=3:7.$

По условию $KD:PD=3:7.$

По второму признаку подобия треугольники $KND,PDB$ подобны, откуда следует, например, что $\angle KND=\angle PBD,$ то есть $NK\parallel BP.$

б) Заметим, по свойству параллельности прямой и плоскости, раз $BP\parallel MCK,$ то плоскость $BPA$ пересечет $MCK$ по прямой, параллельной $BP,$ то есть $BP\parallel MT.$

Будем искать площадь сечения $MTKC$ как сумму площадей трапеции $MTKN$ и треугольника $NKC$ , а площадь трапеции $MTKN$ как разность площадей подобных треугольников $LKN$ и треугольника $LMT.$

Заметим, так как $LM:LN=MT:NK=\frac{BP}{4}:\frac{4BP}{7}=7:16$ , то площади подобных треугольников $LMT,$ $LNK$ относятся как $49:256.$ То есть $S_{MTKN}=\frac{207}{49}S_{LMT}.$