Задание №14 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

14. В правильной пирамиде $PABCD$ на ребрах $AB$ и $PD$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.$

а) Докажите, что прямая $BP$ параллельна плоскости $MCK$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $MCK$, если известно, что все ребра пирамиды равны $4$.

Решение:

а) Построим сечение пирамиды $PABCD$ плоскостью $MCK.$

Пусть $MC$ пересекается с $AD$  в точке $L.$ Пусть $LK$ пересекается с $AP$ в точке $T.$ $MTKC$ – искомое сечение.

Пусть $BD$ пересекается с $MC$ в точке $N.$ Покажем, что $NK\parallel BP,$ что по признаку параллельности прямой и плоскости и будет означать, что $BP\parallel MCK.$

Из подобия треугольников $BNM,DNC$ (по двум углам) следует, что $BN:ND=BM:CD=3:4.$ Тогда $ND:BD=3:7.$

По условию $KD:PD=3:7.$

По второму признаку подобия треугольники $KND,PDB$ подобны, откуда следует, например, что $\angle KND=\angle PBD,$ то есть $NK\parallel BP.$

б) Заметим, по свойству параллельности прямой и плоскости, раз $BP\parallel MCK,$ то плоскость $BPA$ пересечет $MCK$ по прямой, параллельной $BP,$ то есть $BP\parallel MT.$

Будем искать площадь сечения $MTKC$ как сумму площадей трапеции $MTKN$ и треугольника $NKC$, а площадь трапеции  $MTKN$ как разность площадей подобных треугольников $LKN$ и треугольника $LMT.$

Заметим, так как $LM:LN=MT:NK=\frac{BP}{4}:\frac{4BP}{7}=7:16$, то площади подобных треугольников $LMT,$ $LNK$ относятся как $49:256.$ То есть $S_{MTKN}=\frac{207}{49}S_{LMT}.$

Заметим также, что  $S_{NKC}:S_{LKN}=NC:LN=3:4.$ То есть $S_{NKC}=\frac{3S_{LKN}}{4}=\frac{3}{4}\cdot \frac{256S_{LMT}}{49}=\frac{192}{49}S_{LMT}.$

Итак, $S_{MTKC}=\frac{207}{49}S_{LMT}+\frac{192}{49}S_{LMT}=\frac{57}{7}S_{LMT}.$

Найдем стороны треугольника $LMT$:

$LM=\frac{MC}{3}=\frac{\sqrt{BC^2+BM^2}}{3}=\frac{5}{3}.$

$MT=1.$

$LT=\sqrt{LA^2+TA^2-2LA\cdot TA\cdot cos120^{\circ}}=\sqrt{\frac{16}{9}+1+\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{37}}{3}.$

Учитывая, что

 $p_{LMT}=\frac{\frac{5}{3}+1+\frac{\sqrt{37}}{3}}{2}=\frac{8+\sqrt{37}}{6},$

имеем:

$S_{LMT}=\sqrt{\frac{8+\sqrt{37}}{6}(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-\frac{\sqrt{37}}{3})(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-\frac{5}{3})(\frac{8+\sqrt{37}}{6}-1)}=$

$=\sqrt{\frac{8+\sqrt{37}}{6}\cdot \frac{8-\sqrt{37}}{6}\cdot \frac{\sqrt{37}-2}{6}\cdot \frac{\sqrt{37}+2}{6}}=\frac{\sqrt{11}}{4}.$

Наконец, $S_{MTKC}=\frac{57}{7}S_{LMT}=\frac{57\sqrt{11}}{28}.$

Ответ: $\frac{57\sqrt{11}}{28}.$