Задание №14 Т/Р №224 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

14. В основании пирамиды $TABCD$ лежит трапеция $ABCD,$ в которой $BC\parallel AD$ и  $AD:BC=2.$ Через вершину $T$ пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой $BC$ и пересекающая отрезок $AB$ в точке $M$ такой, что $AM:MB=2.$ Площадь получившегося сечения равна $10,$  а расстояние от ребра $BC$ до плоскости сечения равно $4.$

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении $7:20.$

б) Найдите объем пирамиды.

Решение:

а) Так как плоскость указанного сечения параллельна $BC$ и имеет общую точку ($M$) с плоскостью основания пирамиды, то (по свойству прямой, параллельной плоскости) плоскость сечения пересечет плоскость основания пирамиды по прямой, параллельной $BC.$ Пусть $MN\parallel BC,N\in CD.$

Пусть $BC=x,AD=2x,$ пусть $h$ – высота трапеции $ABCD.$

$S_{ABCD}=\frac{x+2x}{2}\cdot h;$

$xh=\frac{2}{3}S_{ABCD}.$

Проведем $BQ\parallel CD,Q\in AD.$  $BQ$ пересекается с $MN$ в точке $L.$

Коэффициент подобия $MBL,ABQ$ – $\frac{1}{3}.$ Тогда  $ML=\frac{x}{3}$ и высота треугольника $MBL,$ проведенная к $ML$ – есть $\frac{h}{3}.$

$S_{MBCN}=S_{MBL}+S_{BCNL}=\frac{\frac{h}{3}\cdot \frac{x}{3}}{2}+\frac{h}{3}\cdoyt x=\frac{7xh}{18}=\frac {7}{27}S_{ABCD}.$

$S_{AMND}=S_{ABCD}-S_{MBCN}=S_{ABCD}-\frac {7}{27}S_{ABCD}=\frac{20}{27}S_{ABCD}.$

$\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=\frac{\frac {7}{27}S_{ABCD}}{\frac{20}{27}S_{ABCD}}=7:20.$

б) Расстояние от точки $E,$ точки пересечения $AB,DC,$ до $MNT$ в $4$ раза больше расстояния от  $BC$ до $MNT$, то есть равно $16.$

$V_{MNTE}=\frac{S_{MNT}\cdot 16}{3}=\frac{160}{3}.$

Коэффициент подобия треугольников $MEN,AED$ – $2:3,$ поэтому $S_{MEN}=\frac{4}{9}S_{AED}$ и $V_{MENT}=\frac{4}{9}V_{AEDT}$

Тогда

$\frac{4}{9}V_{AEDT}=\frac{160}{3};$

$V_{AEDT}=120.$

$V_{MBCNT}=\frac{160}{3}-V_{BCET}=\frac{160}{3}-\frac{V_{AEDT}}{4}=\frac{70}{3}.$

Поскольку $\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=7:20,$ то

$V_{AMNDT}=\frac{20}{7}V_{MBCNT}=\frac{20}{7}\cdot \frac{70}{3}=\frac{200}{3}.$

Итак,

$V_{ABCDT}=V_{MBCNT}+V_{AMNDT}=\frac{70+200}{3}=90.$

Ответ: б) $90.$