Задание №14 Т/Р №224 А. Ларина

2018-02-12

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

14. В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD, в которой BC\parallel AD и  AD:BC=2. Через вершину T пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой BC и пересекающая отрезок AB в точке M такой, что AM:MB=2. Площадь получившегося сечения равна 10,  а расстояние от ребра BC до плоскости сечения равно 4.

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7:20.

б) Найдите объем пирамиды.

Решение:

а) Так как плоскость указанного сечения параллельна BC и имеет общую точку (M) с плоскостью основания пирамиды, то (по свойству прямой, параллельной плоскости) плоскость сечения пересечет плоскость основания пирамиды по прямой, параллельной BC. Пусть MN\parallel BC,N\in CD.

Пусть BC=x,AD=2x, пусть h – высота трапеции ABCD.

S_{ABCD}=\frac{x+2x}{2}\cdot h;

xh=\frac{2}{3}S_{ABCD}.

Проведем BQ\parallel CD,Q\in AD.  BQ пересекается с MN в точке L.

Коэффициент подобия MBL,ABQ\frac{1}{3}. Тогда  ML=\frac{x}{3} и высота треугольника MBL, проведенная к ML – есть \frac{h}{3}.

S_{MBCN}=S_{MBL}+S_{BCNL}=\frac{\frac{h}{3}\cdot \frac{x}{3}}{2}+\frac{h}{3}\cdoyt x=\frac{7xh}{18}=\frac {7}{27}S_{ABCD}.

S_{AMND}=S_{ABCD}-S_{MBCN}=S_{ABCD}-\frac {7}{27}S_{ABCD}=\frac{20}{27}S_{ABCD}.

\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=\frac{\frac {7}{27}S_{ABCD}}{\frac{20}{27}S_{ABCD}}=7:20.

б) Расстояние от точки E, точки пересечения AB,DC, до MNT в 4 раза больше расстояния от  BC до MNT, то есть равно 16.

V_{MNTE}=\frac{S_{MNT}\cdot 16}{3}=\frac{160}{3}.

Коэффициент подобия треугольников MEN,AED2:3, поэтому S_{MEN}=\frac{4}{9}S_{AED} и V_{MENT}=\frac{4}{9}V_{AEDT}

Тогда

\frac{4}{9}V_{AEDT}=\frac{160}{3};

V_{AEDT}=120.

V_{MBCNT}=\frac{160}{3}-V_{BCET}=\frac{160}{3}-\frac{V_{AEDT}}{4}=\frac{70}{3}.

Поскольку \frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=7:20, то

V_{AMNDT}=\frac{20}{7}V_{MBCNT}=\frac{20}{7}\cdot \frac{70}{3}=\frac{200}{3}.

Итак,

V_{ABCDT}=V_{MBCNT}+V_{AMNDT}=\frac{70+200}{3}=90.

Ответ: б) 90.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четырнадцать + 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif