Задание №14 Т/Р №161 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№15№16№17№18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка M так, что SM:MC=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и ABM перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость ABM.

Решение:

a) Докажем, что прямая SC перпендикулярна плоскости ABM. Это и будет означать (по признаку перпендикулярности плоскостей) перпендикулярность плоскостей SBC и ABM.

Для перпендикулярности прямой SC и плоскости ABM (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) следует указать в плоскости ABM две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна SC.

Из треугольника BSC по теореме косинусов:

BC^2=BS^2+CS^2-2BS\cdot CS\cdot cosS;

36=25+25-2\cdot 5\cdot 5\cdot cosS;

cosS=\frac{7}{25}.

Из треугольника BSM по теореме косинусов:

BM^2=BS^2+SM^2-2\cdot BS\cdot SM\cdot cosS;

BM^2=25+\frac{1225}{625}-2\cdot5\cdot \frac{35}{25}\cdot \frac{7}{25};

BM=\frac{120}{25}.

Замечаем, что BS^2=SM^2+BM^2 (действительно, 5^2=(\frac{35}{25})^2+(\frac{120}{25})^2). То есть треугольник SBM – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора), а именно (BM)\perp (SC).

Аналогично и (AM)\perp (SC).

Итак, (SC)\perp (ABM), а значит и (ABM)\perp (BCS).

Что и требовалось доказать.

б) Очевидно, высота MH пирамиды MABC есть \frac{18}{25} высоты SO пирамиды SABC (из подобия треугольников SCO,MCH).

MH=\frac{18}{25}\cdot SO=\frac{18\sqrt{13}}{25}.

Тогда

V_{MABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot MH=\frac{1}{3}\cdot \frac{36\sqrt3}{4}\cdot \frac{18\sqrt{13}}{25}=\frac{54\sqrt{39}}{25}.

При этом

V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{36\sqrt3}{4}\cdot \sqrt{13}=3\sqrt{39}.

Тогда объем меньшей части пирамиды будет таким:

V_{SABM}=3\sqrt{39}-\frac{54\sqrt{39}}{25}=\frac{21\sqrt{39}}{25}.

Ответ: б) \frac{21\sqrt{39}}{25}.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Нина

    Елена Юрьевна, здравствуйте! При вычислении объема верхней части пирамиды я использовала основание АМВ и высоту SM, используя доказательство в пункте а). Как на Ваш взгляд такой подход в решении?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нина, здравствуйте!
      Отличный подход http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif!

      [ Ответить ]
  2. Нина

    Спасибо!:-):-):-)

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif