Задание №14 Т/Р №161 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $5$. На ребре $SC$ отмечена точка $M$ так, что $SM:MC=7:18.$

а) Докажите, что плоскости $SBC$ и $ABM$ перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды $SABC$, на которые ее разбивает плоскость $ABM.$

Решение:

a) Докажем, что прямая $SC$ перпендикулярна плоскости $ABM.$ Это и будет означать (по признаку перпендикулярности плоскостей) перпендикулярность плоскостей $SBC$ и $ABM$.

Для перпендикулярности прямой $SC$ и плоскости $ABM$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) следует указать в плоскости $ABM$ две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна $SC$.

Из треугольника $BSC$ по теореме косинусов:

$BC^2=BS^2+CS^2-2BS\cdot CS\cdot cosS;$

$36=25+25-2\cdot 5\cdot 5\cdot cosS;$

$cosS=\frac{7}{25}.$

Из треугольника $BSM$ по теореме косинусов:

$BM^2=BS^2+SM^2-2\cdot BS\cdot SM\cdot cosS;$

$BM^2=25+\frac{1225}{625}-2\cdot5\cdot \frac{35}{25}\cdot \frac{7}{25};$

$BM=\frac{120}{25}.$

Замечаем, что $BS^2=SM^2+BM^2$ (действительно, $5^2=(\frac{35}{25})^2+(\frac{120}{25})^2$). То есть треугольник $SBM$ – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора), а именно $(BM)\perp (SC).$

Аналогично и $(AM)\perp (SC).$

Итак, $(SC)\perp (ABM),$ а значит и $(ABM)\perp (BCS).$

Что и требовалось доказать.

б) Очевидно, высота $MH$ пирамиды $MABC$ есть $\frac{18}{25}$ высоты $SO$ пирамиды $SABC$ (из подобия треугольников $SCO,MCH$).

$MH=\frac{18}{25}\cdot SO=\frac{18\sqrt{13}}{25}.$

Тогда

$V_{MABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot MH=\frac{1}{3}\cdot \frac{36\sqrt3}{4}\cdot \frac{18\sqrt{13}}{25}=\frac{54\sqrt{39}}{25}.$

При этом

$V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{36\sqrt3}{4}\cdot \sqrt{13}=3\sqrt{39}.$

Тогда объем меньшей части пирамиды будет таким:

$V_{SABM}=3\sqrt{39}-\frac{54\sqrt{39}}{25}=\frac{21\sqrt{39}}{25}.$

Ответ: б) $\frac{21\sqrt{39}}{25}.$