Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.
14. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна
, а боковое ребро равно
. На ребре
отмечена точка
так, что
а) Докажите, что плоскости и
перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды , на которые ее разбивает плоскость
Решение:
a) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости
Это и будет означать (по признаку перпендикулярности плоскостей) перпендикулярность плоскостей
и
.
Для перпендикулярности прямой и плоскости
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) следует указать в плоскости
две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна
.
Из треугольника по теореме косинусов:
Из треугольника по теореме косинусов:
Замечаем, что (действительно,
). То есть треугольник
– прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора), а именно
Аналогично и
Итак, а значит и
Что и требовалось доказать.
б) Очевидно, высота пирамиды
есть
высоты
пирамиды
(из подобия треугольников
).
Тогда
При этом
Тогда объем меньшей части пирамиды будет таким:
Ответ: б)
Елена Юрьевна, здравствуйте! При вычислении объема верхней части пирамиды я использовала основание АМВ и высоту SM, используя доказательство в пункте а). Как на Ваш взгляд такой подход в решении?
Нина, здравствуйте!
!
Отличный подход
Спасибо!:-):-):-)