Задание №15 (С1) из Тренировочной работы №88 А. Ларина

Смотрите также задания 16, 17, 18, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.
а) Решитеу равнение $(1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [− 3;2].

Решение:

a)

$(1+\frac{sin^2x}{cos^2x})sinx-\frac{sin^2x}{cos^2x}+1=0;$

Учитываем, что $1+\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}$, приводим слагаемые к общему знаменателю:

$\frac{sinx-sin^2x+cos^2x}{cos^2x}=0;$

Тогда перед нами система:

$\begin{cases}sinx-sin^2x+cos^2x=0,\\cos^2x\neq 0;&\end{cases}$

Далее

$\begin{cases}2sin^2x-sinx-1=0,\\cosx\neq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=1,\\sinx=-\frac{1}{2};\end{array}\right.\\cosx\neq 0;&\end{cases}$

Система равносильна уравнению:

$sinx=-\frac{1}{2}.$

Откуда

$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$  или  $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

Уравнение решено и его корни таковы:

$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, $ $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка  [− 3;2] при помощи тригонометрического круга:

Корни исходного уравнения из отрезка  [− 3;2]:

$-\frac{\pi}{6},$  $-\frac{5\pi}{6}.$