Задание №15 (С1) Т/Р №89 А. Ларина

2015-09-04

Ранее задание значилось под №15. Сейчас – под №13 (С1).

а) Решите уравнение:

\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;

б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].

Решение:

а)  Заменяем исходное уравнение

\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;

равносильной системой:

\begin{cases} 11-8cos^4x-4sinxcosx=(3sinx+cosx)^2,& &3sinx+cosx\geq 0;& \end{cases}

Рассмотрим первую строку системы:

11-8cos^4x-4sinxcosx=9sin^2x+6sinxcosx+cos^2x;

8cos^2x-8cos^4x-10sinxcosx+2=0;

8cos^2x(1-cos^2x)-10sinxcosx+2=0;

8cos^2xsin^2x-10sinxcosx+2=0;

2(2cosxsinx)^2-5\cdot 2sinxcosx+2=0;

2sin^22x-5sin2x+2=0;

sin2x=\frac{5\pm3}{4};

sin2x=\frac{1}{2};

\left[\begin{gathered} x=\frac{\pi}{12}+\pi n, n\in Z,& x=\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z;& \end{gathered}\right

Решать вторую строку системы мы не будем. Давайте прежде отследим положение корней первой строки системы на тригонометрическом круге:

Очевидно, серии корней уравнения первой строки системы, попадающие в III четверть, при подстановке в неравенство 3sinx+cosx\geq 0 выдают отрицательную величину слева. Они нам не подходят. Серии же точек I четверти удовлетворяют неравенству 3sinx+cosx\geq 0.

б) Производим отбор корней уравнения при помощи тригонометрического круга:

Нам подходят следующие значения:

\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}\frac{29\pi}{12}.

Ответ:

a) \frac{\pi}{12}+2\pi k, \frac{5\pi}{12}+2\pi k, k\in Z;

б) \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}\frac{29\pi}{12}.

Здесь №16, №17, №18, №19.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif