Задание №15 (С1) Т/Р №89 А. Ларина

а) Решите уравнение:

$\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].$

Решение:

а)  Заменяем исходное уравнение

$\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;$

равносильной системой:

$\begin{cases}11-8cos^4x-4sinxcosx=(3sinx+cosx)^2,\\3sinx+cosx\geq 0;&\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$11-8cos^4x-4sinxcosx=9sin^2x+6sinxcosx+cos^2x;$

$8cos^2x-8cos^4x-10sinxcosx+2=0;$

$8cos^2x(1-cos^2x)-10sinxcosx+2=0;$

$8cos^2xsin^2x-10sinxcosx+2=0;$

$2(2cosxsinx)^2-5\cdot 2sinxcosx+2=0;$

$2sin^22x-5sin2x+2=0;$

$sin2x=\frac{5\pm3}{4};$

$sin2x=\frac{1}{2};$

$x=\frac{\pi}{12}+\pi n, n\in Z,$  или  $x=\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z.$

Решать вторую строку системы мы не будем. Давайте прежде отследим положение корней первой строки системы на тригонометрическом круге:

Очевидно, серии корней уравнения первой строки системы, попадающие в III четверть, при подстановке в неравенство $3sinx+cosx\geq 0$ выдают отрицательную величину слева. Они нам не подходят. Серии же точек I четверти удовлетворяют неравенству $3sinx+cosx\geq 0$.

б) Производим отбор корней уравнения при помощи тригонометрического круга:

Нам подходят следующие значения:

$\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{25\pi}{12}$, $\frac{29\pi}{12}.$

Ответ:

a) $\frac{\pi}{12}+2\pi k$, $\frac{5\pi}{12}+2\pi k, k\in Z$;

б) $\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{25\pi}{12}$, $\frac{29\pi}{12}.$

Здесь №16, №17, №18, №19