Главная / 13 (С1) Уравнения

30 Окт 2014

Категория: 13 (С1) УравненияТ/P A. ЛаринаТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Задание №15 (С1) Т/Р №89 А. Ларина

Елена Репина 2014-10-30 2015-09-04

Ранее задание значилось под №15. Сейчас – под №13 (С1).

а) Решите уравнение:

$\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].$

Решение:

а) Заменяем исходное уравнение

$\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx;$

равносильной системой:

$\begin{cases} 11-8cos^4x-4sinxcosx=(3sinx+cosx)^2,& &3sinx+cosx\geq 0;& \end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$11-8cos^4x-4sinxcosx=9sin^2x+6sinxcosx+cos^2x;$

$8cos^2x-8cos^4x-10sinxcosx+2=0;$

$8cos^2x(1-cos^2x)-10sinxcosx+2=0;$

$8cos^2xsin^2x-10sinxcosx+2=0;$

$2(2cosxsinx)^2-5\cdot 2sinxcosx+2=0;$

$2sin^22x-5sin2x+2=0;$

$sin2x=\frac{5\pm3}{4};$

$sin2x=\frac{1}{2};$

$\left[\begin{gathered} x=\frac{\pi}{12}+\pi n, n\in Z,& x=\frac{5\pi}{12}+\pi n, n\in Z;& \end{gathered}\right$

Решать вторую строку системы мы не будем. Давайте прежде отследим положение корней первой строки системы на тригонометрическом круге:

Очевидно, серии корней уравнения первой строки системы, попадающие в III четверть, при подстановке в неравенство $3sinx+cosx\geq 0$ выдают отрицательную величину слева. Они нам не подходят. Серии же точек I четверти удовлетворяют неравенству $3sinx+cosx\geq 0$ .

б) Производим отбор корней уравнения при помощи тригонометрического круга:

Нам подходят следующие значения:

$\frac{\pi}{12}$ , $\frac{5\pi}{12}$ , $\frac{25\pi}{12}$ , $\frac{29\pi}{12}.$

Ответ:

a) $\frac{\pi}{12}+2\pi k$ , $\frac{5\pi}{12}+2\pi k, k\in Z$ ;

б) $\frac{\pi}{12}$ , $\frac{5\pi}{12}$ , $\frac{25\pi}{12}$ , $\frac{29\pi}{12}.$

Здесь №16, №17, №18, №19.

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск по сайту
Материалы для подготовки к ЕГЭ
С1 С3 С5 С6
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (76)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (91)
- 15 (С3) Неравенства (86)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (82)
- 17 (С5) Практич. задачи (70)
- 18 (С6) Параметры* (77)
- 19 (С7) Числа, их свойства (37)
- Видеоуроки (42)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (60)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (38)
- Переменка (5)
- Планиметрия (75)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (81)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (437)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (9)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы