Задание №15 (С1) Т/Р №94 А. Ларина

Также смотрите №16, №17, №18, №19, №20

a) Решите уравнение $\sqrt{1+sinx}+cosx=0;$

б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}).$

Решение:

a)

$\sqrt{1+sinx}=-cosx;$

$\begin{cases}1+sinx=cos^2x,\\-cosx\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}1+sinx=1-sin^2x,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx(1+sinx)=0,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx(1+sinx)=0,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=0,\\sinx=-1;\end{array}\right.\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\pi+2\pi n, n\in Z,\\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z;\end{array}\right.\\$

б) Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})$ производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ:

a) $\pi+2\pi n, n\in Z;$  $-\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z;$

б) $-\frac{\pi}{2}; \pi.$