Задание №15 (С1) Т/Р №97 А. Ларина

Дано уравнение $\frac{1-cos2x-sinx}{cosx-1}=0.$

а) Решите уравнение;

б) Укажите его корни, принадлежащие интервалу $(\frac{5\pi}{2};5\pi).$

Решение:

а)

$\frac{1-cos2x-sinx}{cosx-1}=0;$

$\begin{cases}1-cos2x-sinx=0,\\cosx\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}1-(1-2sin^2x)-sinx=0,\\cosx\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}2sin^2x-sinx=0,\\cosx\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx(2sinx-1)=0,\\cosx\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=0,\\sinx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\cosx\neq 1;&\end{cases}$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z,\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z,\\x=\pi+2\pi k, k\in Z;\end{array}\right.$

 б) Отбор корней уравнения из интервала $(\frac{5\pi}{2};5\pi)$ производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{6}+2\pi n,$ $\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$; $\pi+2\pi k, k\in Z;$

б) $\frac{17\pi}{6};3\pi; \frac{25\pi}{6};\frac{29\pi}{6}.$