Задание №15 Т/Р №101 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение: $\frac{cos6x}{cos2x}+\frac{sin6x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3.$

a) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[2;4].$

 Решение:

  а)

$\frac{cos6x}{cos2x}+\frac{sin6x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3;$

Применяем к числителям левой части формулы тройного угла:

$\frac{4cos^32x-3cos2x}{cos2x}+\frac{3sin2x-4sin^32x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3;$

$4cos^22x-3+3-4sin^22x=2cos4x-\sqrt3, sin4x\neq 0;$

$4cos4x=2cos4x-\sqrt3, sin4x\neq 0;$

$2cos4x=-\sqrt3;$

$cos4x=-\frac{\sqrt3}{2};$

$4x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$

$x=\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z;$

б) Найдем корни уравнения, принадлежазие  отрезку $[1;2].$

Сравним $2$ и $\frac{17\pi}{24}:$

$2<\frac{17\pi}{24},$ так как $48<17\pi.$

Сравним $4$, $\frac{29\pi}{24}, \frac{31\pi}{24}$:

$\frac{29\pi}{24}<4<\frac{31\pi}{24},$ так как $29\pi <96<31\pi.$

Корни исходного уравнения из отрезка $[2;4]:$  $\frac{17\pi}{24}, \frac{19\pi}{24},\frac{29\pi}{24}.$

Ответ:

a) $\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z;$

б) $\frac{17\pi}{24}, \frac{19\pi}{24},\frac{29\pi}{24}.$