Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.
Дано уравнение: $\frac{cos6x}{cos2x}+\frac{sin6x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3.$
a) Решите уравнение;
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[2;4].$
Решение:
а)
$\frac{cos6x}{cos2x}+\frac{sin6x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3;$
Применяем к числителям левой части формулы тройного угла:
$\frac{4cos^32x-3cos2x}{cos2x}+\frac{3sin2x-4sin^32x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3;$
$4cos^22x-3+3-4sin^22x=2cos4x-\sqrt3, sin4x\neq 0;$
$4cos4x=2cos4x-\sqrt3, sin4x\neq 0;$
$2cos4x=-\sqrt3;$
$cos4x=-\frac{\sqrt3}{2};$
$4x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$
$x=\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z;$
б) Найдем корни уравнения, принадлежазие отрезку $[1;2].$
Сравним $2$ и $\frac{17\pi}{24}:$
$2<\frac{17\pi}{24},$ так как $48<17\pi.$
Сравним $4$, $\frac{29\pi}{24}, \frac{31\pi}{24}$:
$\frac{29\pi}{24}<4<\frac{31\pi}{24},$ так как $29\pi <96<31\pi.$
Корни исходного уравнения из отрезка $[2;4]:$ $\frac{17\pi}{24}, \frac{19\pi}{24},\frac{29\pi}{24}.$
Ответ:
a) $\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z;$
б) $\frac{17\pi}{24}, \frac{19\pi}{24},\frac{29\pi}{24}.$
Здравствуйте ! я хотел спросить, возможно ли решение без применения формулы тройного угла ?
Спасибо !
Ваш сайт отличный ! Спасибо Вам за труд !
Ипполит, боюсь, в данном случае не обойтись без формул тройных…
Спасибо!
Возможно решить без формулы тройного угла. В левой части приведи к общему знаменателю. В числители получится формула синус суммы, в знаменателе выражение можно представить через синус двойного угла.