Задание №15 Т/Р №103 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20

Дано уравнение

$cos2x-\sqrt3sin2x=1.$

а) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[4\pi;5,5\pi].$

Решение:

a)

$cos2x-\sqrt3sin2x=1;$

$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt3}{2}sin2x=\frac{1}{2};$

$sin\frac{\pi}{6}cos2x-cos\frac{\pi}{6}sin2x=\frac{1}{2};$

$sin(\frac{\pi}{6}-2x)=\frac{1}{2};$

$\left[\begin{array}{rcl}\frac{\pi}{6}-2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z,\\\frac{\pi}{6}-2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}-2x=2\pi n, n\in Z,\\-2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\pi k, k\in Z,\\x=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z;\end{array}\right.$

б) Отбор корней производим при помощи тригонометрического круга:

Корни уравнения из отрезка $[4\pi;5,5\pi]$:  $4\pi;\frac{14\pi}{3};5\pi.$

Ответ:

a) $\pi k,$  $-\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z$;

б) $4\pi;\frac{14\pi}{3};5\pi.$