Задание №15 Т/Р №105 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20

Дано уравнение

$\frac{|cosx|}{cosx}+2=2sinx$

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[8,5;14,5].$

Решение:

a)

$\frac{|cosx|}{cosx}+2=2sinx;$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}\frac{cosx}{cosx}+2=2sinx,\\cosx>0;\end{cases}\\\begin{cases}\frac{-cosx}{cosx}+2=2sinx,\\cosx<0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}sinx=\frac{3}{2},\\cosx>0;\end{cases}\\\begin{cases}sinx=\frac{1}{2},\\cosx<0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\begin{cases}sinx=\frac{1}{2},\\cosx<0;&\end{cases}$

$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[8,5;14,5]$.

Заметим, $8,5=\frac{17}{2}<\frac{17\pi}{6}$ и $14,5=\frac{29}{2}<\frac{29\pi}{6}.$

Итак, только один корень  $x=\frac{17\pi}{6}$ исходного уравнения принадлежит отрезку $[8,5;14,5]$.

Ответ: 

a) $\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$

б) $\frac{17\pi}{6}.$