Задание №15 Т/Р №108 А. Ларина

Дано уравнение $sin7x-sinx=\sqrt2cos4x.$

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-2\pi].$

 Решение:

а)

$2sin\frac{7x-x}{2}cos\frac{7x+x}{2}=\sqrt2cos4x;$

$2sin3x\cdot cos4x=\sqrt2cos4x;$

$cos4x(2sin3x-\sqrt2)=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}cos4x=0,\\sin3x=\frac{\sqrt2}{2};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}4x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z,\\3x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z,\\3x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, n\in Z,\\x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}, k\in Z,\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}, k\in Z;\end{array}\right.$

б) Отбор корней из указанного отрезка производим при помощи тригонометрического круга:

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$, $\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}$, $\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}, n, k\in Z$.

б) $-\frac{23\pi}{8}, -\frac{21\pi}{8}, -\frac{31\pi}{12},-\frac{29\pi}{12},-\frac{19\pi}{8},-\frac{17\pi}{8}.$