Задание №13 (по старому №15) Т/Р №112 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение

$\frac{ctgx+3}{tg(x+\frac{\pi}{6})}=ctg\frac{5\pi}{6}$

а) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi}{2}].$

Решение:

a)

$\frac{ctgx+3}{tg(x+\frac{\pi}{6})}=ctg\frac{5\pi}{6};$

Заметим, формула    $tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{tgx+tg\frac{\pi}{6}}{1-tgx\cdot tg\frac{\pi}{6}}$    верна для $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi m,m\in Z.$

В нашем случае, когда $x=\frac{\pi}{2}+\pi m,m\in Z$, мы имеем верное равенство. То есть $x=\frac{\pi}{2}+\pi m,m\in Z$– корни уравнения.

Если же $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi m,m\in Z$, то

$\frac{ctgx+3}{\frac{tgx+tg\frac{\pi}{6}}{1-tgx\cdot tg\frac{\pi}{6}}}=-\sqrt3;$

$\frac{ctgx+3}{\frac{tgx+\frac{1}{\sqrt3}}{1-\frac{1}{\sqrt3}tgx}}=-\sqrt3;$

$(ctgx+3)(\sqrt3-tgx)=-\sqrt3(\sqrt3tgx+1);$

$\sqrt3ctgx-1+3\sqrt3-3tgx=-3tgx-\sqrt3;$

$\sqrt3ctgx=-4\sqrt3+1;$

$ctgx=-4+\frac{1}{\sqrt3};$

$x=arcctg(-4+\frac{1}{\sqrt3})+\pi n, n\in Z;$

$x=\pi -arcctg(4-\frac{1}{\sqrt3})+\pi n, n\in Z;$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[0;\frac{3\pi}{2}].$

Ответ:

а) $\frac{\pi}{2}+\pi m,m\in Z, \pi -arcctg(4-\frac{1}{\sqrt3})+\pi n, n\in Z;$

б) $\frac{\pi}{2},\pi-arcctg(4-\frac{1}{\sqrt3}),\frac{3\pi}{2}.$