Задание №13 (по старому №15) Т/Р №114 А. Ларина

2023-07-07

Смотрите также №16№17№18№19№20.
Дано уравнение

$cos4x-6cos2xcosx-4sin^2x+5=0$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\pi;\frac{5\pi}{2}].$

Решение:

a)

$cos4x-6cos2xcosx-4(1-cos^2x)+5=0;$

$2cos^22x-1-6cos2xcosx+4cos^2x+1=0;$

$2(2cos^2x-1)^2-6(2cos^2x-1)cosx+4cos^2x=0;$

$8cos^4x-8cos^2x+2-12cos^3x+6cosx+4cos^2x=0;$

$8cos^4x-12cos^3x-4cos^2x+6cosx+2=0;$

$4cos^4x-6cos^3x-2cos^2x+3cosx+1=0;$

7uik

$(cosx-1)(cosx+\frac{1}{2})(4cos^2x-4cosx-2)=0;$

$(cosx-1)(cosx+\frac{1}{2})(cosx-\frac{1+\sqrt3}{2})(cosx-\frac{1-\sqrt3}{2})=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}cosx=1,\\cosx=-\frac{1}{2},\\cosx=\frac{1-\sqrt3}{2};\end{array}\right.$

98ik

$x=2\pi n, n\in Z$ или $x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$ или $x=\pm arccos(\frac{1-\sqrt3}{2})+2\pi t, t\in Z.$

б) Произведем отбор корней исходного уравнения из  $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрического круга.

6t

Ответ: 

а) $2\pi n$,  $\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,$  $\pm arccos(\frac{1-\sqrt3}{2})+2\pi t, n,k,t\in Z.$

б) $\frac{4\pi}{3};2\pi-arccos(\frac{1-\sqrt3}{2});2\pi .$

Печать страницы
комментариев 18
  1. Софья

    Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как понять, что полученное выражение четвертой степени нужно делить именно на (cosx-1), а не на какое-либо другое выражение. Просто пробовать на все делить и в какой-то момент получится или все же есть определенный принцип нахождения делителя? Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, определенный принцип есть. В случае наличия целочисленных корней их следует искать среди делителей свободного члена (в данном случае свободный член 1, его делители – это 1 и -1).
      Например, при решении уравнения [latexpage]$x^3-x^2-8x+12=0$ целочисленные корни (а мы надеемся, что они есть) будем искать среди делителей числа 12. Вот они: $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 6;\pm 12.$ Берем последовательно выявленные делители свободного члена, подставляем их в исходное уравнение. Смотрим, получается ли верное равенство. Нам подойдет $2.$ Тогда $x^3-x^2-8x+12$ делим на $x-2$. Ну и далее…

      [ Ответить ]
  2. Алевтина

    Здравствуйте! А откуда взялось “2cos^2(2x)-1”?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из формулы двойного угла для косинуса: [latexpage]$cos2\alpha=2cos^2\alpha -1.$

      [ Ответить ]
  3. Maxim

    Как вы определили что делить на cosx+1/2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      -1/2 – корень. Поэтому, очевидно, можно нацело поделить многочлен на двучлен. Сам корень искали среди делителей свободного члена. Теорему Безу погуглите.
      Можно обойтись и без нее. Группировку сделайте.

      [ Ответить ]
      • Алексей

        Всё-таки непонятно, откуда мы должны догадаться, что -1/2 – корень. Ведь по теореме Безу делители свободного члена должны быть целочисленными, а 1/2 – дробь меньше 1.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Для приведенного уравнения – да. А если оно не приведенное? Как действуем, знаете?

          [ Ответить ]
          • Алексей

            Ну, наверное, делим левую и правую части уравнения на 1-й коэффициент (у наибольшей степени переменной), т.е. “приводим”…

            [ Ответить ]
          • egeMax

            … и удобно сделать некую замену с целью ухода от дробных коэффициентов. Какую? Далее работаем с приведенным уравнение…
            Несложно увидеть связь корней приведенного и первоначального…

            [ Ответить ]
          • Алексей

            Всё-таки не пойму, к чему Вы клоните. Ну разделим на 4, всё равно же будут дробные коэффициенты, а свободный член станет 1/4. Какую замену сделать? Поясните подробнее, пожалуйста.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Можно домножить обе части уравнения на 4^3 и сделать замену t=4x. Уравнение с t – приведенное. Его и решаем. Несложно затем выйти на x.

            [ Ответить ]
          • Алексей

            Большое спасибо!
            Теперь до меня дошло: -2 – делитель свободного члена приведённого уравнения, равного 16, корень приведённого уравнения равен t=-2, а x=t/4=-2/4= -1/2.
            Благодарю за пояснение!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

            [ Ответить ]
  4. Ася

    Здравствуйте, возник такой вопрос по решению этого уравнения:
    Если совершить преобразования, то можно свести его к виду 2*(cos2x)^2-6*cos2x*cosx+4*(cosx)^2=0
    Если делением на (cosx)^2, свести к квадратному, то так решение будет проще, по -моему.
    Поэтому два вопроса: можно ли так решать такое уравнение?
    И является ли такое уравнение также однородным тригонометрическим уравнением или в однородных тригонометрических всегда должны быть синус и косинус в качестве разных переменных?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здравствуйте! Но не видя самого уравнения, как я вам подскажу? //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif Вижу только то, к чему свели…
      Или вы об уравнении, что разобрано выше?

      [ Ответить ]
      • Ася

        Да, именно об этом уравнении, которое рассмотрено на этой странице

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Не вижу как вам поможет деление на cos^2x…

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




8 + шесть =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif