Ранее задание значилось под №15. Сейчас – под №13 (С1).
Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.
Дано уравнение
.
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку
Решение:
a)
или
или
б) Произведем отбор корней исходного уравнения из при помощи тригонометрического круга.
Ответ:
а) ,
б)
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как понять, что полученное выражение четвертой степени нужно делить именно на (cosx-1), а не на какое-либо другое выражение. Просто пробовать на все делить и в какой-то момент получится или все же есть определенный принцип нахождения делителя? Заранее спасибо!
Да, определенный принцип есть. В случае наличия целочисленных корней их следует искать среди делителей свободного члена (в данном случае свободный член 1, его делители – это 1 и -1).
целочисленные корни (а мы надеемся, что они есть) будем искать среди делителей числа 12. Вот они:
Берем последовательно выявленные делители свободного члена, подставляем их в исходное уравнение. Смотрим, получается ли верное равенство. Нам подойдет
Тогда
делим на
. Ну и далее…
Например, при решении уравнения
Здравствуйте! А откуда взялось “2cos^2(2x)-1”?
Из формулы двойного угла для косинуса:
Как вы определили что делить на cosx+1/2?
-1/2 – корень. Поэтому, очевидно, можно нацело поделить многочлен на двучлен. Сам корень искали среди делителей свободного члена. Теорему Безу погуглите.
Можно обойтись и без нее. Группировку сделайте.
Всё-таки непонятно, откуда мы должны догадаться, что -1/2 – корень. Ведь по теореме Безу делители свободного члена должны быть целочисленными, а 1/2 – дробь меньше 1.
Для приведенного уравнения – да. А если оно не приведенное? Как действуем, знаете?
Ну, наверное, делим левую и правую части уравнения на 1-й коэффициент (у наибольшей степени переменной), т.е. “приводим”…
… и удобно сделать некую замену с целью ухода от дробных коэффициентов. Какую? Далее работаем с приведенным уравнение…
Несложно увидеть связь корней приведенного и первоначального…
Всё-таки не пойму, к чему Вы клоните. Ну разделим на 4, всё равно же будут дробные коэффициенты, а свободный член станет 1/4. Какую замену сделать? Поясните подробнее, пожалуйста.
Можно домножить обе части уравнения на 4^3 и сделать замену t=4x. Уравнение с t – приведенное. Его и решаем. Несложно затем выйти на x.
Большое спасибо!
Теперь до меня дошло: -2 – делитель свободного члена приведённого уравнения, равного 16, корень приведённого уравнения равен t=-2, а x=t/4=-2/4= -1/2.
Благодарю за пояснение!
Здравствуйте, возник такой вопрос по решению этого уравнения:
Если совершить преобразования, то можно свести его к виду 2*(cos2x)^2-6*cos2x*cosx+4*(cosx)^2=0
Если делением на (cosx)^2, свести к квадратному, то так решение будет проще, по -моему.
Поэтому два вопроса: можно ли так решать такое уравнение?
И является ли такое уравнение также однородным тригонометрическим уравнением или в однородных тригонометрических всегда должны быть синус и косинус в качестве разных переменных?
Здравствуйте! Но не видя самого уравнения, как я вам подскажу?
Вижу только то, к чему свели…
Или вы об уравнении, что разобрано выше?
Да, именно об этом уравнении, которое рассмотрено на этой странице
Не вижу как вам поможет деление на cos^2x…