Задание №13 (по старому №15) Т/Р №115 А. Ларина

Смотрите также  №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение $\frac{2}{4^{sin^2x}}=\frac{4^{sinx}}{2^{2cosx}}.$

a) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$

Решение:

а)

$\frac{2}{4^{sin^2x}}=\frac{4^{sinx}}{2^{2cosx}};$

$2^{1-2sin^2x}=2^{2sinx-2cosx};$

$1-2sin^2x=2sinx-2cosx;$

$cos2x=2(sinx-cosx)$  (*)

Перейдем к уравнению следствию:

$cos^22x=4(1-2sinxcosx);$

$1-sin^22x=4(1-sin2x);$

$sin^22x-4sin2x+3=0;$

$sin2x=1;$

$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$

Подвергнем найденные корни проверке, подставляя  в (*).

Итак, $x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$

б) Отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$ производим при помощи тригонометрического круга.

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z;$

б) $\frac{9\pi}{4}.$