Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.
Дано уравнение $\frac{2}{4^{sin^2x}}=\frac{4^{sinx}}{2^{2cosx}}.$
a) Решите уравнение;
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$
Решение:
а)
$\frac{2}{4^{sin^2x}}=\frac{4^{sinx}}{2^{2cosx}};$
$2^{1-2sin^2x}=2^{2sinx-2cosx};$
$1-2sin^2x=2sinx-2cosx;$
$cos2x=2(sinx-cosx)$ (*)
Перейдем к уравнению следствию:
$cos^22x=4(1-2sinxcosx);$
$1-sin^22x=4(1-sin2x);$
$sin^22x-4sin2x+3=0;$
$sin2x=1;$
$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$
Подвергнем найденные корни проверке, подставляя в (*).
Итак, $x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$
б) Отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$ производим при помощи тригонометрического круга.
Ответ:
а) $\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z;$
б) $\frac{9\pi}{4}.$
Можно не возводить в квадрат. Даже лучше, ибо не все школьники умеют это делать. Единицы пишут условия возведения.
Можно расписать cos(2x) как (cos(x)+sin(x))*(cos(x)-sin(x))
Отсюда tg(x)=1 и cos(x)+sin(x)=-2. Второе равентсво невозможно.
Получаются те же корни:)
“ибо не все школьники умеют это делать”
Пусть учатся… :)
Шучу. Спасибо за коммент. Думаю, кому-то окажется полезным.
А я так и не пойму почему cos2x>0.Я решил то же разложением.
И я не пойму ;) что это было…
Спасибо.