Задание №13 (по старому №15) Т/Р №116 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение $(1-cos2x)(ctgx-\sqrt3)=3sinx-\sqrt3cosx.$

а) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}].$

Решение:

а)

$(1-cos2x)(ctgx-\sqrt3)=3sinx-\sqrt3cosx;$

$2sin^2x(\frac{cosx-\sqrt3sinx}{sinx})=-\sqrt3(cosx-\sqrt3sinx);$

$2sinx(cosx-\sqrt3sinx)=-\sqrt3(cosx-\sqrt3sinx);$

(заметим, значения $x$, отвечающие за $sinx=0$ не являются корнями уравнения последней строки, как и исходного уравнения)

$(cosx-\sqrt3sinx)(2sinx+\sqrt3)=0;$

$ctgx=\sqrt3$ или $sinx=-\frac{\sqrt3}{2};$

$x=\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z$ или $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$, $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрического круга.

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{6}+\pi n,$  $-\frac{\pi}{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k,n\in Z.$

б) $-\frac{11\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},-\frac{2\pi}{3}.$