Задание №15 Т/Р №166 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

15. Решите неравенство $\large\frac{4^{x}-3\cdot 2^x+3}{2^x-2}+\frac{4^{x}-5\cdot 2^x+3}{2^x-4}\leq 2^{x+1}.$

Решение:

$\large\frac{4^{x}-3\cdot 2^x+3}{2^x-2}+\frac{4^{x}-5\cdot 2^x+3}{2^x-4}\leq 2^{x+1}.$

Готовимся к выделению целых частей дробей:

$\large\frac{(2^{x}-2)^2+(2^x-2)+1}{2^x-2}+\frac{(2^{x}-4)^2+3(2^x-4)-1}{2^x-4}\leq 2^{x+1};$

$2^x-2+1+\frac{1}{2^x-2}+2^x-4+3-\frac{1}{2^x-4}\leq 2\cdot 2^{x};$

$\large\frac{1}{2^x-2}-\frac{1}{2^x-4}\leq 2;$

$\large\frac{2^x-4-2^x+2-2(2^x-2)(2^x-4)}{(2^x-2)(2^x-4)}\leq 0;$

$\large\frac{-2\cdot 4^x+12\cdot 2^x-18}{(2^x-2)(2^x-4)}\leq 0;$

$\large\frac{4^x-6\cdot 2^x+9}{(2^x-2)(2^x-4)}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-3)^2}{(2^x-2)(2^x-4)}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2^{log_23})^2}{(2^x-2^1)(2^x-2^2)}\geq 0.$

Применяем метод замены множителей:

$\large\frac{(x-log_23)^2}{(x-1)(x-2)}\geq 0;$

$x\in (-\infty;1)\cup \{log_23\}\cup (2;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;1)\cup \{log_23\}\cup(2;+\infty).$