Задание №15 Т/Р №171 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

15. Решите неравенство $\large\frac{9}{3+log_3x\cdot log_3\frac{9}{x}}\normalsize \leq log_3^2x-log_3\frac{x^2}{27}.$

Решение:

$\large \frac{9}{3+log_3x\cdot log_3\frac{9}{x}}\normalsize\leq log_3^2x-log_3\frac{x^2}{27};$

$\large\frac{9}{3+log_3x\cdot (2-log_3{x})}\normalsize\leq log_3^2x-(2log_3x-3);$

$\large\frac{9}{-log_3^2x+2log_3x+3}\normalsize\leq log_3^2x-2log_3x+3;$

$(log_3^2x-2log_3x+3)+\large\frac{9}{log_3^2x-2log_3x-3}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(log_3^2x-2log_3x+3)(log_3^2x-2log_3x-3)+9}{log_3^2x-2log_3x+3}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(log_3^2x-2log_3x)^2}{log_3^2x-2log_3x+3}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{log_3^2x(log_3x-2)^2}{log_3^2x-2log_3x+3}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(log_3x-log_31)^2(log_3x-log_39)^2}{(log_3x-log_327)(log_3x-log_3\frac{1}{3})}\normalsize\geq 0.$

Решаем методом замены множителей:

$\large\frac{(x-1)^2(x-9)^2}{(x-27)(x-\frac{1}{3})}\geq 0,$   $x>0;$

$x\in (0;\frac{1}{3})\cup ${$1;9$}$\cup (27;+\infty).$

Ответ: $(0;\frac{1}{3})\cup ${$1;9$}$\cup (27;+\infty).$