Задание №15 Т/Р №181 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина

15. Решите неравенство $\sqrt{4\sqrt3 sin\frac{\pi x}{3}-4sin^2\frac{\pi x}{3}-3}\cdot (log_{\frac{2}{3}}\frac{3x+22}{14-x})\leq 0.$

Решение:

 $\sqrt{4\sqrt3 sin\frac{\pi x}{3}-4sin^2\frac{\pi x}{3}-3}\cdot (log_{\frac{2}{3}}\frac{3x+22}{14-x})\leq 0.$

Будем применять метод рационализации (или метод замены множителей).

 $(\sqrt{4\sqrt3 sin\frac{\pi x}{3}-4sin^2\frac{\pi x}{3}-3}-\sqrt 0)\cdot (log_{\frac{2}{3}}\frac{3x+22}{14-x}-log_{\frac{2}{3}}1)\leq 0.$

$\begin{cases}(4\sqrt3 sin\frac{\pi x}{3}-4sin^2\frac{\pi x}{3}-3)(\frac{2}{3}-1)(\frac{3x+22}{14-x}-1)\leq 0,\\4\sqrt3 sin\frac{\pi x}{3}-4sin^2\frac{\pi x}{3}-3\geq 0,\\\frac{3x+22}{14-x}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(2sin\frac{\pi x}{3}-\sqrt3)^2\cdot \frac{4x+8}{14-x}\leq 0,\\(2sin\frac{\pi x}{3}-\sqrt3)^2\leq 0,\\\frac{3x+22}{14-x}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(2sin\frac{\pi x}{3}-\sqrt3)^2\cdot \frac{4x+8}{14-x}\leq 0,\\sin\frac{\pi x}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\\\frac{3x+22}{14-x}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-((-1)^n+3n))^2\cdot \frac{4x+8}{14-x}\leq 0,\\sin\frac{\pi x}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\\\frac{3x+22}{14-x}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-((-1)^n+3n))^2\cdot \frac{4x+8}{14-x}\leq 0,\\x=(-1)^n+3n, n\in Z,\\\frac{3x+22}{14-x}>0;&\end{cases}$

$x\in ${$-5;-4;1;2;7;8;13$}.

Ответ: {$-5;-4;1;2;7;8;13$}.