Задание №15 Т/Р №202 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large\frac{2^{x+1}-7}{4^x-2^{x+1}-3}\leq 1.$

Решение:

$\large\frac{2^{x+1}-7}{4^x-2^{x+1}-3}\leq 1;$

$\large\frac{2\cdot 2^{x}-7-4^x+2\cdot 2^{x}+3}{4^x-2\cdot 2^{x}-3}\leq 0;$

$\large\frac{4^x-4\cdot 2^{x}+4}{4^x-2\cdot 2^{x}-3}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2)^2}{(2^x-3)(2^x+1)}\geq 0;$

Замечаем, что $2^x+1>0.$ Тогда неравенство равносильно следующему:

$\large\frac{(2^x-2)^2}{2^x-3}\geq 0.$

Воспользуемся методом замены множителей:

$\large\frac{(2^x-2^1)^2}{2^x-2^{log_23}}\geq 0;$

$\large\frac{(x-1)^2}{x-log_23}\geq 0;$

$x\in ${$1$}$\cup (log_23;+\infty).$

Ответ: {$1$}$\cup (log_23;+\infty).$