Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.
15. Решите неравенство
$\large \frac{83-17\cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}\leq 4^x+3\cdot 2^{x+1}+17.$
Решение:
Пусть $2^x=m.$
$\large\frac{83-34m}{m^2-4m+3}\leq m^2+6m+17;$
$\large\frac{83-34m-(m^2+6m+17)(m^2-4m+3)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$
$\large\frac{83-34m-(m^4+2m^3+20m^2-50m+51)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$
$\large\frac{m^4+2m^3-4m^2-16m-32}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$
$\large\frac{(m^4-4m^2-32)+(2m^3-16m)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$
$\large\frac{(m^2-8)(m^2+4)+2m(m^2-8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$
$\large\frac{(m^2-8)(m^2+2m+4)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$
$\large\frac{(m-\sqrt8)(m+\sqrt8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0.$
Замечаем, что $m^2+2m+4>0$ при любых $m.$ Также $m+\sqrt8>0$, так как $m=2^x>0.$
Обратная замена:
$\large\frac{2^x-\sqrt8}{(2^x-3)(2^x-1)}\geq 0;$
$\large\frac{2^x-2^{\frac{3}{2}}}{(2^x-2^{log_23})(2^x-2^0)}\geq 0.$
Согласно методу замены множителей имеем:
$\large\frac{x-\frac{3}{2}}{x(x-log_23)}\geq 0.$
Заметим, $log_23=log_2\sqrt9>log_2\sqrt8=log_22^\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$
$x\in [0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$
Ответ: $[0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$
Елена Юрьевна,добрыйдень.Вседа ли применимо следствие из т.Безу.Не рационально но пробовал для числителя и при разложении свободного члена не получается подобрать корень.
Владимир, добрый день! Теорема хороша, когда уравнение имеет целый корень. В нашем же случае – поди догадайся, что делить надо на [latexpage]$x\pm \sqrt8…$