Главная / 15 (С3) Неравенства

23 Ноя 2017

Категория: 15 (С3) НеравенстваТ/P A. Ларина

Задание №15 Т/Р №212 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-23 2017-11-21

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\frac{83-17\cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}\leq 4^x+3\cdot 2^{x+1}+17.$

Решение:

Пусть $2^x=m.$

$\frac{83-34m}{m^2-4m+3}\leq m^2+6m+17;$

$\frac{83-34m-(m^2+6m+17)(m^2-4m+3)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$

$\frac{83-34m-(m^4+2m^3+20m^2-50m+51)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$

$\frac{m^4+2m^3-4m^2-16m-32}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\frac{(m^4-4m^2-32)+(2m^3-16m)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\frac{(m^2-8)(m^2+4)+2m(m^2-8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\frac{(m^2-8)(m^2+2m+4)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\frac{(m-\sqrt8)(m+\sqrt8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0.$

Замечаем, что $m^2+2m+4>0$ при любых $m.$ Также $m+\sqrt8>0$ , так как $m=2^x>0.$

Обратная замена:

$\frac{2^x-\sqrt8}{(2^x-3)(2^x-1)}\geq 0;$

$\frac{2^x-2^{\frac{3}{2}}}{(2^x-2^{log_23})(2^x-2^0)}\geq 0.$

Согласно методу замены множителей имеем:

$\frac{x-\frac{3}{2}}{x(x-log_23)}\geq 0.$

Заметим, $log_23=log_2\sqrt9>log_2\sqrt8=log_22^\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$

$x\in [0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$

Ответ: $[0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

владимир

2017-11-23 в 14:23

Елена Юрьевна,добрыйдень.Вседа ли применимо следствие из т.Безу.Не рационально но пробовал для числителя и при разложении свободного члена не получается подобрать корень.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-11-23 в 15:00
  
  Владимир, добрый день! Теорема хороша, когда уравнение имеет целый корень. В нашем же случае – поди догадайся, что делить надо на $x\pm \sqrt8...$
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (77)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (93)
- 15 (С3) Неравенства (87)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (83)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (78)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (43)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (67)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (38)
- Переменка (5)
- Планиметрия (75)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (83)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (437)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Подготовка к ЕГЭ по математике © 2013 - 2019