Задание №15 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-21

Смотрите также №13; №14№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

15. Решите неравенство

\frac{83-17\cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}\leq 4^x+3\cdot 2^{x+1}+17.

Решение:

Пусть 2^x=m.

\frac{83-34m}{m^2-4m+3}\leq m^2+6m+17;

\frac{83-34m-(m^2+6m+17)(m^2-4m+3)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;

\frac{83-34m-(m^4+2m^3+20m^2-50m+51)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;

\frac{m^4+2m^3-4m^2-16m-32}{(m-3)(m-1)}\geq 0;

\frac{(m^4-4m^2-32)+(2m^3-16m)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;

\frac{(m^2-8)(m^2+4)+2m(m^2-8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;

\frac{(m^2-8)(m^2+2m+4)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;

\frac{(m-\sqrt8)(m+\sqrt8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0.

 Замечаем, что m^2+2m+4>0 при любых m.  Также m+\sqrt8>0, так как m=2^x>0.

Обратная замена:

\frac{2^x-\sqrt8}{(2^x-3)(2^x-1)}\geq 0;

\frac{2^x-2^{\frac{3}{2}}}{(2^x-2^{log_23})(2^x-2^0)}\geq 0.

Согласно методу замены множителей имеем:

\frac{x-\frac{3}{2}}{x(x-log_23)}\geq 0.

Заметим, log_23=log_2\sqrt9>log_2\sqrt8=log_22^\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.

x\in [0;1,5)\cup(log_23;+\infty).

Ответ: [0;1,5)\cup(log_23;+\infty).

Печать страницы
комментария 2
  1. владимир

    Елена Юрьевна,добрыйдень.Вседа ли применимо следствие из т.Безу.Не рационально но пробовал для числителя и при разложении свободного члена не получается подобрать корень.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Владимир, добрый день! Теорема хороша, когда уравнение имеет целый корень. В нашем же случае – поди догадайся, что делить надо на x\pm \sqrt8...

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 × пять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif