Задание №15 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large \frac{83-17\cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}\leq 4^x+3\cdot 2^{x+1}+17.$

Решение:

Пусть $2^x=m.$

$\large\frac{83-34m}{m^2-4m+3}\leq m^2+6m+17;$

$\large\frac{83-34m-(m^2+6m+17)(m^2-4m+3)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$

$\large\frac{83-34m-(m^4+2m^3+20m^2-50m+51)}{(m-3)(m-1)}\leq 0;$

$\large\frac{m^4+2m^3-4m^2-16m-32}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\large\frac{(m^4-4m^2-32)+(2m^3-16m)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\large\frac{(m^2-8)(m^2+4)+2m(m^2-8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\large\frac{(m^2-8)(m^2+2m+4)}{(m-3)(m-1)}\geq 0;$

$\large\frac{(m-\sqrt8)(m+\sqrt8)}{(m-3)(m-1)}\geq 0.$

 Замечаем, что $m^2+2m+4>0$ при любых $m.$  Также $m+\sqrt8>0$, так как $m=2^x>0.$

Обратная замена:

$\large\frac{2^x-\sqrt8}{(2^x-3)(2^x-1)}\geq 0;$

$\large\frac{2^x-2^{\frac{3}{2}}}{(2^x-2^{log_23})(2^x-2^0)}\geq 0.$

Согласно методу замены множителей имеем:

$\large\frac{x-\frac{3}{2}}{x(x-log_23)}\geq 0.$

Заметим, $log_23=log_2\sqrt9>log_2\sqrt8=log_22^\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$

$x\in [0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$

Ответ: $[0;1,5)\cup(log_23;+\infty).$