Задание №15 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№16№17№18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

15. Решите неравенство: \frac{2^{cosx}-1}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 2^{1+cosx}-2.

Решение:

 \frac{2^{cosx}-1}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 2^{1+cosx}-2;

 \frac{2^{cosx}-1-(2^{1+cosx}-2)(3\cdot 2^{cosx}-1)}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 0;

 \frac{2^{cosx}-1-2(2^{cosx}-1)(3\cdot 2^{cosx}-1)}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 0;

\frac{2^{cosx}-1-2(3\cdot 2^{2cosx}-4\cdot 2^{cosx}+1)}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 0;

\frac{-6\cdot 2^{2cosx}+9\cdot 2^{cosx}-3}{3\cdot 2^{cosx}-1}\leq 0;

\frac{2\cdot 2^{2cosx}-3\cdot 2^{cosx}+1}{2^{cosx}-\frac{1}{3}}\geq 0;

\frac{2(2^{cosx}-1)(2^{cosx}-\frac{1}{2})}{2^{cosx}-\frac{1}{3}}\geq 0;

\frac{(2^{cosx}-2^0)(2^{cosx}-2^{-1})}{2^{cosx}-2^{log_2\frac{1}{3}}}\geq 0.

Применяем метод замены множителей:

\frac{(cosx-0)(cosx+1)}{cosx-log_2\frac{1}{3}}}\geq 0  (*)

Так как

log_2\frac{1}{3}<log_2\frac{1}{2}=-1, то есть -log_2\frac{1}{3}>1

и

cosx\geq -1,

то

cosx-log_2\frac{1}{3}>0 при любом значении x.

Поэтому (*) равносильно следующему неравенству:

cosx(cosx+1)\geq 0 (**)

Если cosx=-1, то получаем верное неравенство (**). Если cosx\neq -1, то cosx+1>0 и, сократив обе части неравенства (**) на положительную величину cosx+1, приходим к тому, что cosx\geq 0.

Итак, имеем

cosx=-1 или cosx\geq 0;

x\in [-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\cup{\pi+2\pi n}, n\in Z.

Ответ: [-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\cup{\pi+2\pi n}, n\in Z.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif