Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №17; №18; №19 

14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ:

$AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$

Решение:

a) По теореме косинусов для треугольника $ABC:$

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;$

$49=9+25-30cosB;$

$cosB=-\frac{1}{2};$

$\angle B=120^{\circ}.$

По теореме косинусов для треугольника $ACD:$

$AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot cosD;$

$49=64+25-80cosD;$

$cosD=\frac{1}{2};$

$\angle D=60^{\circ}.$

Итак, поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^{\circ},$ то около четырехугольника можно описать окружность.

б) Коль около четырехугольника можно описать окружность, то и

$\angle A+\angle C=180^{\circ}.$

По теореме косинусов для треугольника $ABD:$

$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA;$

$BD^2=73-48cosA$  (*)

По теореме косинусов для треугольника $BCD:$

$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot cos(180^{\circ}-A);$

$BD^2=BC^2+CD^2+2\cdot BC\cdot CD\cdot cosA$

$BD^2=50+50cosA$  (**)

Тогда из (*), (**) имеем:

$73-48cosA=50+50cosA;$

$cosA=\frac{23}{98}.$

Стало быть,

$BD^2=50(1+\frac{23}{98});$

$BD^2=50\cdot \frac{121}{98};$

$BD=\frac{55}{7}.$

Ответ: б) $\frac{55}{7}.$