Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

02 Май 2018

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачи

Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

Елена Репина 2018-05-02 2018-05-03

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №17; №18; №19

14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ:

$AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$

Решение:

a) По теореме косинусов для треугольника $ABC:$

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;$

$49=9+25-30cosB;$

$cosB=-\frac{1}{2};$

$\angle B=120^{\circ}.$

По теореме косинусов для треугольника $ACD:$

$AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot cosD;$

$49=64+25-80cosD;$

$cosD=\frac{1}{2};$

$\angle D=60^{\circ}.$

Итак, поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^{\circ},$ то около четырехугольника можно описать окружность.

б) Коль около четырехугольника можно описать окружность, то и

$\angle A+\angle C=180^{\circ}.$

По теореме косинусов для треугольника $ABD:$

$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA;$

$BD^2=73-48cosA$ (*)

По теореме косинусов для треугольника $BCD:$

$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot cos(180^{\circ}-A);$

$BD^2=BC^2+CD^2+2\cdot BC\cdot CD\cdot cosA$

$BD^2=50+50cosA$ (**)

Тогда из (*), (**) имеем:

$73-48cosA=50+50cosA;$

$cosA=\frac{23}{98}.$

Стало быть,

$BD^2=50(1+\frac{23}{98});$

$BD^2=50\cdot \frac{121}{98};$

$BD=\frac{55}{7}.$

Ответ: б) $\frac{55}{7}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы