Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№17№18; №19 

14. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ:

AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.

Решение:

a) По теореме косинусов для треугольника ABC:

AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;

49=9+25-30cosB;

cosB=-\frac{1}{2};

\angle B=120^{\circ}.

По теореме косинусов для треугольника ACD:

AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot cosD;

49=64+25-80cosD;

cosD=\frac{1}{2};

\angle D=60^{\circ}.

Итак, поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^{\circ}, то около четырехугольника можно описать окружность.

б) Коль около четырехугольника можно описать окружность, то и

\angle A+\angle C=180^{\circ}.

По теореме косинусов для треугольника ABD:

BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot cosA;

BD^2=73-48cosA  (*)

По теореме косинусов для треугольника BCD:

BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot cos(180^{\circ}-A);

BD^2=BC^2+CD^2+2\cdot BC\cdot CD\cdot cosA

BD^2=50+50cosA  (**)

Тогда из (*), (**) имеем:

73-48cosA=50+50cosA;

cosA=\frac{23}{98}.

Стало быть,

BD^2=50(1+\frac{23}{98});

BD^2=50\cdot \frac{121}{98};

BD=\frac{55}{7}.

Ответ: б) \frac{55}{7}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

тринадцать − 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif