Смотрите также задания №1-12; №13; №14; №15; №17; №18; №19
16. В треугольнике угол
тупой,
— точка пересечения продолжений высот, угол
равен
°.
а) Докажите, что угол равен
°.
б) Найдите , если
Решение:
a) Пусть пересекается с
в точке
с
– в точке
Четырехугольник таков, что
Тогда и
То есть
Углы
– вертикальные, поэтому и
б) Углы и
– смежные, поэтому, раз
то
В прямоугольных треугольниках углы
и
– по
Тогда
По теореме косинусов из треугольника
Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна
то около него можно описать окружность. Треугольник
вписан в эту окружность. По теореме синусов
где
– радиус окружности.
Итак,
Ответ: б)
а из чего следует что BH проходит через центр окружности?
ВН – диаметр окружности. Все вершины прямоугольных треугольников с общей гипотенузой лежат на одной окружности, диаметр которой – гипотенуза