Задание №16. Досрочный ЕГЭ 2018

2018-05-08

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№17№18; №19

16. В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB= 7, BC = 8.

Решение:

a) Пусть BC пересекается с AH в точке M, AB с CH –  в точке N.

Четырехугольник MHNB таков, что \angle M+\angle N=180^{\circ}. Тогда и \angle H+\angle MBN=180^{\circ}. То есть \angle MBN=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}. Углы ABC, MBN – вертикальные, поэтому и \angle ABC=120^{\circ}.

б) Углы MBA,ABC и NBC,ABC – смежные, поэтому, раз \angle ABC=120^{\circ}, то \angle MBA=\angle NBC=60^{\circ}.

В прямоугольных треугольниках AMB,CNB углы A и C – по 30^{\circ}.

Тогда MB=\frac{AB}{2}=\frac{7}{2},  BN=\frac{BC}{2}=4.

По теореме косинусов из треугольника MBN:

MN^2=\frac{49}{4}+16-2\cdot \frac{7}{2}\cdot 4\cdot cos120^{\circ};

MN^2=\frac{169}{4};

MN=\frac{13}{2}.

 Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника MHNB равна 180^{\circ}, то около него можно описать окружность. Треугольник MNH вписан в эту окружность. По теореме синусов \frac{MN}{sin H}=2R, где R – радиус окружности.

Итак,

BH=2R=\frac{13}{2}}:{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{13}{\sqrt3}.

Ответ: б) \frac{13}{\sqrt3}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два × 1 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif