Задание №16. Досрочный ЕГЭ 2018

2023-06-14

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№17№18; №19

16. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$°.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$°.
б) Найдите $BH$, если $AB= 7, BC = 8.$

Решение:

a) Пусть $BC$ пересекается с $AH$ в точке $M,$ $AB$ с $CH$ –  в точке $N.$

Четырехугольник $MHNB$ таков, что $\angle M+\angle N=180^{\circ}.$ Тогда и $\angle H+\angle MBN=180^{\circ}.$ То есть $\angle MBN=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$ Углы $ABC, MBN$ – вертикальные, поэтому и $\angle ABC=120^{\circ}.$

б) Углы $MBA,ABC$ и $NBC,ABC$ – смежные, поэтому, раз $\angle ABC=120^{\circ},$ то $\angle MBA=\angle NBC=60^{\circ}.$

В прямоугольных треугольниках $AMB,CNB$ углы $A$ и $C$ – по $30^{\circ}.$

Тогда $MB=\frac{AB}{2}=\frac{7}{2},$  $BN=\frac{BC}{2}=4.$

По теореме косинусов из треугольника $MBN:$

$MN^2=\frac{49}{4}+16-2\cdot \frac{7}{2}\cdot 4\cdot cos120^{\circ};$

$MN^2=\frac{169}{4};$

$MN=\frac{13}{2}.$

 Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $MHNB$ равна $180^{\circ},$ то около него можно описать окружность. Треугольник $MNH$ вписан в эту окружность.

По теореме синусов $\frac{MN}{sin H}=2R,$ где $R$ – радиус окружности.

Итак,

$BH=2R=\frac{13}{2}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{13}{\sqrt3}.$

Ответ: б) $\frac{13}{\sqrt3}.$

Печать страницы
комментария 2
  1. Пукер

    а из чего следует что BH проходит через центр окружности?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ВН – диаметр окружности. Все вершины прямоугольных треугольников с общей гипотенузой лежат на одной окружности, диаметр которой – гипотенуза

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




десять + шесть =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif