Задание №16. Досрочный ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №1-12; №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$°.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$°.
б) Найдите $BH$, если $AB= 7, BC = 8.$

Решение:

a) Пусть $BC$ пересекается с $AH$ в точке $M,$ $AB$ с $CH$ –  в точке $N.$

Четырехугольник $MHNB$ таков, что $\angle M+\angle N=180^{\circ}.$ Тогда и $\angle H+\angle MBN=180^{\circ}.$ То есть $\angle MBN=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$ Углы $ABC, MBN$ – вертикальные, поэтому и $\angle ABC=120^{\circ}.$

б) Углы $MBA,ABC$ и $NBC,ABC$ – смежные, поэтому, раз $\angle ABC=120^{\circ},$ то $\angle MBA=\angle NBC=60^{\circ}.$

В прямоугольных треугольниках $AMB,CNB$ углы $A$ и $C$ – по $30^{\circ}.$

Тогда $MB=\frac{AB}{2}=\frac{7}{2},$  $BN=\frac{BC}{2}=4.$

По теореме косинусов из треугольника $MBN:$

$MN^2=\frac{49}{4}+16-2\cdot \frac{7}{2}\cdot 4\cdot cos120^{\circ};$

$MN^2=\frac{169}{4};$

$MN=\frac{13}{2}.$

 Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $MHNB$ равна $180^{\circ},$ то около него можно описать окружность. Треугольник $MNH$ вписан в эту окружность.

По теореме синусов $\frac{MN}{sin H}=2R,$ где $R$ – радиус окружности.

Итак,

$BH=2R=\frac{13}{2}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{13}{\sqrt3}.$

Ответ: б) $\frac{13}{\sqrt3}.$