Задание №16 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19, №20, №21.

Разбор задания №16 одного из вариантов

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=\sqrt5 и BC=2
Длины боковых ребер пирамиды SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение:

а) Замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники ABS,ADS – прямоугольные.

Действительно,

(\sqrt7)^2+(\sqrt5)^2=(2\sqrt3)^2

и

(\sqrt7)^2+2^2=(\sqrt{11})^2.

Итак, SA\perp AD и SA\perp AB.  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем: SA\perp ABCD, то есть SA – высота пирамиды.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что BC\perp ASB (во-первых, BC\perp AB так как ABCD – прямоугольник, во-вторых, наклонная SB перпендикулярна BC, так как ее проекция  на плоскость ABCD перпендикулярна BC  (т. о трех перпендикулярах)).

Поэтому \angle (SC;ABS)=\angle CSB.

Из прямоугольного треугольника SBC:

tg CSB=\frac{BC}{SB}=\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}, откуда \angle CSB=30^{\circ}.

Ответ: 30^{\circ}.

Печать страницы
Комментариев: 24
  1. Елена

    Спасибо огромное,Елена Юрьевна!За такой быстрый ответ на мою просьбу:)-всё так доступно и конкретно объяснено!
    а я(:-решала пункт а)-всё искала “сложности”-никак не могла поверить,что задание из 2-ой части решаются в три строчки…
    Искренне благодарю,что помогли мне разобраться с этой задачей!!
    а пункт б)в этой задаче я решала координатно-векторным методом-ответ получился.как у Вас-только я получила синус-а уже потом,угол=30.а Ваше решение-быстро,точно по школе,и лаконичное!-возьму себе на заметку-что порой,по школьной базе геометрии 10-11,достаточно коротко и красиво можно решать и задачу №16.
    С ИСКРЕННЕЙ БЛАГОДАРНОСТЬЮ,Елена:)

    [ Ответить ]
  2. erm

    Здравствуйте! За последние годы вот эта задача подарок судьбы. Спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да уж, точно! ;)

      [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Елена Юрьевна решите пожалуйста задачу:
    ОСНОВАНИЕМ ПРЯМОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 ЯВЛЯЕТСЯ РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, В КОТОРОМ АВ=ВС=10, АС=16. БОКОВОЕ РЕБРО ПРИЗМЫ РАВНО 24. ТОЧКА Р-СЕРЕДИНА РЕБРА ВВ1. НАЙДИТЕ ТАНГЕНС УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ А1В1С1 И АСР.
    У МЕНЯ ПОЛУЧИЛОСЬ ТАНГЕНС РАВЕН 2. ОТВЕТ НЕ СХОДИТСЯ.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      И у меня получилось 2.

      [ Ответить ]
  4. Ильяс

    А ТАМ ОТВЕТ 4/3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Может, боковое ребро 16? а не 24?

      [ Ответить ]
  5. Ильяс

    Помогите доказать :
    ДАН КУБ ABCDA1B1C1D1. а) ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРЯМАЯ BD1 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОСКОСТИ ACB1.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Найдите в плоскости ACB_1 две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна BD_1.
      Начните… Хотя бы одну укажите…

      [ Ответить ]
  6. Kirill

    Не понятно, а что это за квадраты складываются? Т. е. после слова “действительно, “. Поясните поподробнее . Спасибо большое!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Теорему Пифагора знаете?

      [ Ответить ]
  7. Kirill

    Конечно! Ее же все знают! Даже русские!! Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов или наоборот. Или по-школьному: пифагоровы штаны во все стороны равны. Но там не понятно что с чем складывается, все смешано-перемешано!! В кучу.(

    [ Ответить ]
  8. Kirill

    Там квадрат гипотенузы первого треугольника (ABS) сложили с квадратом катета второго треугольника (ADS). Где же тут теорема Пифагора?=)
    На заметку: Гипотенуза – это сторона треугольника, лежащая против прямого угла. А угол S совсем не прямой во втором треугольнике (ADS).

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вы действительно думаете, что я не в состоянии отличить гипотенузу от катета?
      В треугольнике ABS угол A – прямой (как выяснилось)…
      И во втором треугольнике угол A также прямой.
      Так что подумайте, где там катеты, а где гипотенузы…

      [ Ответить ]
  9. Kirill

    Так во втором треугольнике гипотенуза – SD (в треугольнике ADS)?!! И тео Пифагора применима только для одного треугольника же?! Ничего не пойму.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, SD – гипотенуза треугольника ADS.
      Вначале решения проверяется «прямоугольность» двух треугольников – ADS и ABS.

      [ Ответить ]
  10. Kirill

    AD – это катет же?? У воторого треугольника. Какое отношение он имеет к первому треугольнику? Это же смешно!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Катет, конечно.
      К первому треугольнику не имеет ни малейшего отношения.

      [ Ответить ]
      • egeMax

        В чем проблема-то, Kirill?
        Над чем смеемся-то?

        [ Ответить ]
  11. Kirill

    А почему же тогда складывается гипотенуза первого треугольника с катетом второго? Где же тут теорема Пифагора? 2 в квадрате – это же катет в квадрате у второго треугольника.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Kirill, ну не складывается гипотенуза с катетом!..
      \Delta ABS:
      AB^2+AS^2=SB^2, так как (\sqrt5)^2+(\sqrt7)^2=(2\sqrt3)^2.
      \Delta ADS:
      AD^2+AS^2=SD^2, так как 2^2+(\sqrt7)^2=(\sqrt{11})^2.

      [ Ответить ]
  12. Kirill

    Я про тоже!! Но почему SB, когда гипотенуза у ADS – DS? Поэтому DS же должно получиться в квадрате?! (Т. е.: AD2+AS2=DS2)
    Квадраты сверху у меня почему-то не ставятся.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В предыдущем моем комментарии была опечатка. Конечно, – SD, а не SB для второго треугольника.
      Так с чем вы никак не можете согласиться-то? Ну не понимаю я…

      [ Ответить ]
  13. Kirill

    Теперь понял.
    Спасибо большое!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif