Задание №16 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20, №21.

Разбор задания №16 одного из вариантов

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt5$ и $BC=2$.
Длины боковых ребер пирамиды $SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.$
а) Докажите, что $SA$ – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ASB.$

Решение:

а) Замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $ABS,ADS$ – прямоугольные.

Действительно,

$(\sqrt7)^2+(\sqrt5)^2=(2\sqrt3)^2$

и

$(\sqrt7)^2+2^2=(\sqrt{11})^2.$

Итак, $SA\perp AD$ и $SA\perp AB.$  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем: $SA\perp ABCD$, то есть $SA$ – высота пирамиды.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что $BC\perp ASB$ (во-первых, $BC\perp AB$ так как $ABCD$ – прямоугольник, во-вторых, наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$, так как ее проекция  на плоскость $ABCD$ перпендикулярна $BC$  (т. о трех перпендикулярах)).

Поэтому $\angle (SC;ABS)=\angle CSB.$

Из прямоугольного треугольника $SBC:$

$tg CSB=\frac{BC}{SB}=\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},$ откуда $\angle CSB=30^{\circ}.$

Ответ: $30^{\circ}.$