Задание №16 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2023-07-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19, №20, №21.

Разбор задания №16 одного из вариантов

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt5$ и $BC=2$.
Длины боковых ребер пирамиды $SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.$
а) Докажите, что $SA$ – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ASB.$

Решение:

а) Замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $ABS,ADS$ – прямоугольные.

Действительно,

$(\sqrt7)^2+(\sqrt5)^2=(2\sqrt3)^2$

и

$(\sqrt7)^2+2^2=(\sqrt{11})^2.$

щр

Итак, $SA\perp AD$ и $SA\perp AB.$  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем: $SA\perp ABCD$, то есть $SA$ – высота пирамиды.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что $BC\perp ASB$ (во-первых, $BC\perp AB$ так как $ABCD$ – прямоугольник, во-вторых, наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$, так как ее проекция  на плоскость $ABCD$ перпендикулярна $BC$  (т. о трех перпендикулярах)).

Поэтому $\angle (SC;ABS)=\angle CSB.$

шгр

Из прямоугольного треугольника $SBC:$

$tg CSB=\frac{BC}{SB}=\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},$ откуда $\angle CSB=30^{\circ}.$

Ответ: $30^{\circ}.$

Печать страницы
комментария 24
  1. Kirill

    Я про тоже!! Но почему SB, когда гипотенуза у ADS – DS? Поэтому DS же должно получиться в квадрате?! (Т. е.: AD2+AS2=DS2)
    Квадраты сверху у меня почему-то не ставятся.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В предыдущем моем комментарии была опечатка. Конечно, – SD, а не SB для второго треугольника.
      Так с чем вы никак не можете согласиться-то? Ну не понимаю я…

      [ Ответить ]
  2. Kirill

    Теперь понял.
    Спасибо большое!

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




три + 14 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif