В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20, №21.
Разбор задания №16 одного из вариантов
В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt5$ и $BC=2$.
Длины боковых ребер пирамиды $SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.$
а) Докажите, что $SA$ – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ASB.$
Решение:
а) Замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $ABS,ADS$ – прямоугольные.
Действительно,
$(\sqrt7)^2+(\sqrt5)^2=(2\sqrt3)^2$
и
$(\sqrt7)^2+2^2=(\sqrt{11})^2.$
Итак, $SA\perp AD$ и $SA\perp AB.$ По признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем: $SA\perp ABCD$, то есть $SA$ – высота пирамиды.
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что $BC\perp ASB$ (во-первых, $BC\perp AB$ так как $ABCD$ – прямоугольник, во-вторых, наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$, так как ее проекция на плоскость $ABCD$ перпендикулярна $BC$ (т. о трех перпендикулярах)).
Поэтому $\angle (SC;ABS)=\angle CSB.$
Из прямоугольного треугольника $SBC:$
$tg CSB=\frac{BC}{SB}=\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},$ откуда $\angle CSB=30^{\circ}.$
Ответ: $30^{\circ}.$
Я про тоже!! Но почему SB, когда гипотенуза у ADS – DS? Поэтому DS же должно получиться в квадрате?! (Т. е.: AD2+AS2=DS2)
Квадраты сверху у меня почему-то не ставятся.
В предыдущем моем комментарии была опечатка. Конечно, – SD, а не SB для второго треугольника.
Так с чем вы никак не можете согласиться-то? Ну не понимаю я…
Теперь понял.
Спасибо большое!