Задание №16. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$.
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$.

Решение:

а) Точка $O_1$  равноудалена от сторон $BC,AD.$ Аналогично точка $O_2$  равноудалена от сторон $BC,AD.$ Тогда прямая $O_1O_2$ равноудалена от $BC,AD,$ то есть $O_1O_2\parallel BC\parallel AD.$

б) Пусть $M,N,Т$ и $P,Q,S,$ – точки касания первой и второй окружностей со сторонами $AB,BC,AD$  и $BC,CD,AD$ соответсвенно.

Пусть

$AM=AT=x,$

 тогда

$MB=BN=10-x.$

Пусть $NP=y.$

Имеем

$PC=CQ=x-y-1,QD=SD=31-x+y$.

Стало быть, $TS=AD-AT-SD=39-x-(31-x+y)=8-y.$

Итак, $NP=TS=y=8-y,$ откуда $y=4.$

Ответ: б) $4.$