Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19
16. Около треугольника описана окружность. Прямая
, где
– центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке
.
a) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой
, если угол
равен , а радиус описанной окружности равен
Решение:
а) Покажем равенство углов треугольника
что будет означать и равенство его сторон
Точка центр вписанной окружности в треугольник
– точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть
как вписанные углы, опирающиеся на дугу
– внешний угол треугольника
Итак, откуда
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, (опирается на дугу
как и вписанный угол
). То есть треугольник
– равнобедренный. Пусть
– центр описанной окружности около треугольника
Поскольку центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, то перпендикуляр, проведенный к из точки
пройдет через точку
Поскольку то
а поскольку треугольник
– равнобедренный, то
В прямоугольном треугольнике
значит,
Наконец,
Ответ: б)
Добавить комментарий