Задание №16. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.
a) Докажите, что $AP=OP.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если угол $ABC$
равен $120^{\circ}$, а радиус описанной окружности равен $18.$

Решение:

а) Покажем равенство углов $OAP, AOP$ треугольника $AOP,$ что будет означать и равенство его сторон $AP,OP.$

Точка $O,$ центр вписанной окружности в треугольник $ABC,$ – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть $\angle A=2\alpha,\angle B=2\beta.$

$\angle PAC=\angle CBP=\beta $ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $PC.$

$\angle AOP$ – внешний угол треугольника $ABO,$  $\angle AOP =\angle BAO+\angle ABO=\alpha +\beta.$

Итак, $\angle OAP=\angle AOP,$ откуда $AP=OP.$ Что и требовалось доказать.

б) Заметим, $\angle ACP=\beta$ (опирается на дугу $AP$ как и вписанный угол $ABP$). То есть треугольник $ACP$ – равнобедренный. Пусть $Q$ – центр описанной окружности около треугольника $ABC.$

Поскольку центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, то перпендикуляр, проведенный к $AC$ из точки $P$ пройдет через точку $Q.$

Поскольку $\angle ABC=120^{\circ},$  то $\beta=60^{\circ}.$

$\angle APH=30^{\circ},$ а поскольку треугольник $AQP$ – равнобедренный, то $\angle AQH=60^{\circ}.$

В прямоугольном  треугольнике $AQH$ $\angle HAQ=30^{\circ},AQ=18,$ значит, $QH=9.$

Наконец, $PH=PQ+QH=18+9=27.$

Ответ: б) $27.$