Задание №16. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2019-06-10

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
a) Докажите, что AP=OP.
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если угол ABC
равен 120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

Решение:

а) Покажем равенство углов OAP, AOP треугольника AOP, что будет означать и равенство его сторон AP,OP.

Точка O, центр вписанной окружности в треугольник ABC, – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть \angle A=2\alpha,\angle B=2\beta.

\angle PAC=\angle CBP=\beta как вписанные углы, опирающиеся на дугу PC.

\angle AOP – внешний угол треугольника ABO,  \angle AOP =\angle BAO+\angle ABO=\alpha +\beta.

Итак, \angle OAP=\angle AOP, откуда AP=OP. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, \angle ACP=\beta (опирается на дугу AP как и вписанный угол ABP). То есть треугольник ACP – равнобедренный. Пусть Q – центр описанной окружности около треугольника ABC.

Поскольку центр описанной окружности около треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, то перпендикуляр, проведенный к AC из точки P пройдет через точку Q.

Поскольку \angle ABC=120^{\circ},  то \beta=60^{\circ}.

\angle APH=30^{\circ}, а поскольку треугольник AQP – равнобедренный, то \angle AQH=60^{\circ}.

В прямоугольном  треугольнике AQH \angle HAQ=30^{\circ},AQ=18, значит, QH=9.

Наконец, PH=PQ+QH=18+9=27.

Ответ: б) 27.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




четырнадцать − 14 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif