Задание №16 (С2 по старому)

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Из Тренировочной работы №85 А. Ларина.

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой , соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45˚.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую .
б) Найдите радиус меньшей сферы.

Решение:

а) Пусть , –  центры первой и второй сфер соответственно.

Заметим, что центры   сфер располагаются на биссекторной плоскости двугранного угла (поскольку сферы касаются граней двугранного угла (центры сфер равноудалены от граней двугранного угла)).

А значит, мы можем говорить о пересечении прямых () и ребра двугранного угла (обозначим точку пересечения за ). Плоскость, о которой говорится в условии, определена. Более того, она биссекторая.

б) Пусть , – точки касания сфер с одной из граней двугранного угла. А также   – основания перпендикуляров  к ребру двугранного угла из точек и соответственно.

Заметим, и – перпендикуляры к ребру двугранного угла (по т. о трех перпендикулярах).

Из прямоугольного треугольника c углом в 30˚ напротив катета , равного 1,  имеем .

Из прямоугольного равнобедренного треугольника находим

Аналогочно из прямоугольного равнобедренного треугольника находим

,

где –радиус сферы с центром

Учитывая, что есть , имеем:

Ответ:

(смотрите также задания №17 , №18, №19)