Задание №16 (С2 по старому)

Из Тренировочной работы №85 А. Ларина.

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой $a$, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45˚.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую $a$.
б) Найдите радиус меньшей сферы.

Решение:

а) Пусть $O_1$, $O_2$ –  центры первой и второй сфер соответственно.

Заметим, что центры $O_1,$  $O_2$ сфер располагаются на биссекторной плоскости двугранного угла (поскольку сферы касаются граней двугранного угла (центры сфер равноудалены от граней двугранного угла)).

А значит, мы можем говорить о пересечении прямых $a$ ($O_1O_2$) и ребра двугранного угла (обозначим точку пересечения за $A$). Плоскость, о которой говорится в условии, определена. Более того, она биссекторая.

б) Пусть $K_1$, $K_2$ – точки касания сфер с одной из граней двугранного угла. А также $T,$  $R$ – основания перпендикуляров  к ребру двугранного угла из точек $K_1$ и $K_2$ соответственно.

Заметим, $O_1T$ и $O_2R$ – перпендикуляры к ребру двугранного угла (по т. о трех перпендикулярах).

Из прямоугольного треугольника $TO_1K_1$ c углом $T$ в 30˚ напротив катета $O_1K_1$, равного 1,  имеем $TO_1=2$.

Из прямоугольного равнобедренного треугольника $TAO_1$ находим $AO_1:$

$AO_1=\sqrt2TO_1=2\sqrt2.$

Аналогочно из прямоугольного равнобедренного треугольника $RAO_2$ находим $AO_2:$

$AO_2=\sqrt2RO_2=2\sqrt2r$,

где $r$ –радиус сферы с центром $O_2.$

Учитывая, что $O_1O_2$ есть $r+1$, имеем:

$2\sqrt2=r+1+2\sqrt2r;$

$r(1+2\sqrt2)=2\sqrt2-1;$

$r=\frac{2\sqrt2-1}{1+2\sqrt2};$

$r=\frac{(2\sqrt2-1)^2}{7};$

$r=\frac{9-4\sqrt2}{7};$

Ответ: $\frac{9-4\sqrt2}{7}.$

(смотрите также задания №17 , №18, №19)