В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Из Тренировочной работы №85 А. Ларина.
Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой , соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45˚.
а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую .
б) Найдите радиус меньшей сферы.
Решение:
а) Пусть ,
– центры первой и второй сфер соответственно.
Заметим, что центры
сфер располагаются на биссекторной плоскости двугранного угла (поскольку сферы касаются граней двугранного угла (центры сфер равноудалены от граней двугранного угла)).
А значит, мы можем говорить о пересечении прямых (
) и ребра двугранного угла (обозначим точку пересечения за
). Плоскость, о которой говорится в условии, определена. Более того, она биссекторая.
б) Пусть ,
– точки касания сфер с одной из граней двугранного угла. А также
– основания перпендикуляров к ребру двугранного угла из точек
и
соответственно.
Заметим, и
– перпендикуляры к ребру двугранного угла (по т. о трех перпендикулярах).
Из прямоугольного треугольника c углом
в 30˚ напротив катета
, равного 1, имеем
.
Из прямоугольного равнобедренного треугольника находим
Аналогочно из прямоугольного равнобедренного треугольника находим
,
где –радиус сферы с центром
Учитывая, что есть
, имеем:
Ответ:
СПАСИБО!