Задание №16 (С2 по старому)

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Из Тренировочной работы №85 А. Ларина.

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой a, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45˚.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую a.
б) Найдите радиус меньшей сферы.

Решение:

а) Пусть O_1, O_2 –  центры первой и второй сфер соответственно.

Заметим, что центры O_1,  O_2 сфер располагаются на биссекторной плоскости двугранного угла (поскольку сферы касаются граней двугранного угла (центры сфер равноудалены от граней двугранного угла)).

А значит, мы можем говорить о пересечении прямых a (O_1O_2) и ребра двугранного угла (обозначим точку пересечения за A). Плоскость, о которой говорится в условии, определена. Более того, она биссекторая.

 

б) Пусть K_1, K_2 – точки касания сфер с одной из граней двугранного угла. А также T,  R – основания перпендикуляров  к ребру двугранного угла из точек K_1 и K_2 соответственно.

Заметим, O_1T и O_2R – перпендикуляры к ребру двугранного угла (по т. о трех перпендикулярах).

Из прямоугольного треугольника TO_1K_1 c углом T в 30˚ напротив катета O_1K_1, равного 1,  имеем TO_1=2.

Из прямоугольного равнобедренного треугольника TAO_1 находим AO_1:

AO_1=\sqrt2TO_1=2\sqrt2.

Аналогочно из прямоугольного равнобедренного треугольника RAO_2 находим AO_2:

AO_2=\sqrt2RO_2=2\sqrt2r,

где r –радиус сферы с центром O_2.

Учитывая, что O_1O_2 есть r+1, имеем:

2\sqrt2=r+1+2\sqrt2r;

r(1+2\sqrt2)=2\sqrt2-1;

r=\frac{2\sqrt2-1}{1+2\sqrt2};

r=\frac{(2\sqrt2-1)^2}{7};

r=\frac{9-4\sqrt2}{7};

Ответ: \frac{9-4\sqrt2}{7}.

(смотрите также задания №17 , №18№19)

Печать страницы
Один комментарий
  1. VictorSh

    СПАСИБО!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif