Задание №16 (С2) Т/Р №92 А. Ларина

2023-07-15

Смотрите также №15№17№18№19№20

Ребро куба $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ равно 4. Через середины ребер $AB$ и $BC$ параллельно прямой $BD_1$ проведена плоскость.
а) Постройте сечение куба этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Решение:

a) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через середины $M$ и $N$ ребер $AB$ и $BC$ соответственно, паралельно прямой $BD_1.$

длт Плоскость сечения, что мы строим, пересекает плоскость $BDD_1B_1$, в которой лежит прямая $BD_1$ по прямой, параллельной $BD_1$. Пусть $MN$ пересекается c $BD$ в точке $E$. Проводим прямую $EK$ в плоскости $BDD_1B_1$, параллельную $BD_1$  ($K\in DD_1$). ло Прямая $MN$ пересекает плоскости граней $CC_1D_1D$,  $AA_1A_1D$ в точках $R$  и $S$  на прямых $CD$  и $AD$ соответственно (см. рисунок). Соединяем точки $R$ и $K$,  $S$ и $K$. $Z$ – точка пересечения $RK$ и $CC_1$,  $H$ – точка пересечения $KS$ и $AA_1.$ lkn Пятиугольник $ZKHMN$ – искомое сечение. mn

б) Площадь сечения будем искать, пользуясь формулой

$\quicklatex{color=’red’}S_{sechenie}=\frac{S_{proeksia}}{cos\alpha}$,

где $\alpha$ – угол между плоскостями сечения и основания.

В нашем случае

$S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}$

$\angle KED$ – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями сечения и основания. Действительно, во-первых, $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$, а значит $MN||AC$, при этом $AC\perp BD$, откуда следует, что и $BD\perp MN$. Во-вторых, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $KE$ перпендикулярна $MN$, коль ее проекция  $BD$ на плоскость $ABC$, в которойлежит $MN$,  перпендикулярна $MN$.

Найдем косинус угла $KED$ из треугольника $DEK$:

Очевидно, $BE:BD=1:4$, то есть $DE=\frac{3BD}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt2}{4}=3\sqrt2.$

l,m

Далее, $KE:BD_1=3:4$ (в силу подобия треугольников $DEK$ и  $DBD_1$ с коэффициентом подобия $3:4$, ведь мы говорили, – $BE=\frac{BD}{4}$), то есть $KE=\frac{3BD_1}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Итак, $cos\angle KED=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}.$

Несложно найти площадь пятиугольника $AMNCD$ (проекции сечения на плоскость основания):

$S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{MNB}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABC}}{4}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABCD}}{8}=$

$=\frac{7S_{ABCD}}{8}=14.$

Наконец, $S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}=\frac{14}{\frac{\sqrt6}{3}}=7\sqrt6.$

Ответ: $7\sqrt6.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




тринадцать − 8 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif