Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20
Ребро куба $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ равно 4. Через середины ребер $AB$ и $BC$ параллельно прямой $BD_1$ проведена плоскость.
а) Постройте сечение куба этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
Решение:
a) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через середины $M$ и $N$ ребер $AB$ и $BC$ соответственно, паралельно прямой $BD_1.$
Плоскость сечения, что мы строим, пересекает плоскость $BDD_1B_1$, в которой лежит прямая $BD_1$ по прямой, параллельной $BD_1$. Пусть $MN$ пересекается c $BD$ в точке $E$. Проводим прямую $EK$ в плоскости $BDD_1B_1$, параллельную $BD_1$ ($K\in DD_1$). Прямая $MN$ пересекает плоскости граней $CC_1D_1D$, $AA_1A_1D$ в точках $R$ и $S$ на прямых $CD$ и $AD$ соответственно (см. рисунок). Соединяем точки $R$ и $K$, $S$ и $K$. $Z$ – точка пересечения $RK$ и $CC_1$, $H$ – точка пересечения $KS$ и $AA_1.$ Пятиугольник $ZKHMN$ – искомое сечение.
б) Площадь сечения будем искать, пользуясь формулой
$\quicklatex{color=’red’}S_{sechenie}=\frac{S_{proeksia}}{cos\alpha}$,
где $\alpha$ – угол между плоскостями сечения и основания.
В нашем случае
$S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}$
$\angle KED$ – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями сечения и основания. Действительно, во-первых, $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$, а значит $MN||AC$, при этом $AC\perp BD$, откуда следует, что и $BD\perp MN$. Во-вторых, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $KE$ перпендикулярна $MN$, коль ее проекция $BD$ на плоскость $ABC$, в которойлежит $MN$, перпендикулярна $MN$.
Найдем косинус угла $KED$ из треугольника $DEK$:
Очевидно, $BE:BD=1:4$, то есть $DE=\frac{3BD}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt2}{4}=3\sqrt2.$
Далее, $KE:BD_1=3:4$ (в силу подобия треугольников $DEK$ и $DBD_1$ с коэффициентом подобия $3:4$, ведь мы говорили, – $BE=\frac{BD}{4}$), то есть $KE=\frac{3BD_1}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$
Итак, $cos\angle KED=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}.$
Несложно найти площадь пятиугольника $AMNCD$ (проекции сечения на плоскость основания):
$S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{MNB}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABC}}{4}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABCD}}{8}=$
$=\frac{7S_{ABCD}}{8}=14.$
Наконец, $S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}=\frac{14}{\frac{\sqrt6}{3}}=7\sqrt6.$
Ответ: $7\sqrt6.$
Добавить комментарий