Задание №16 (С2) Т/Р №92 А. Ларина

2016-06-11

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Ребро куба ABCDA_1B_1 C_1 D_1 равно 4. Через середины ребер AB и BC параллельно прямой BD_1 проведена плоскость.
а) Постройте сечение куба этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Решение:

a) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через середины M и N ребер AB и BC соответственно, паралельно прямой BD_1.

Плоскость сечения, что мы строим, пересекает плоскость BDD_1B_1, в которой лежит прямая BD_1 по прямой, параллельной BD_1. Пусть MN пересекается c BD в точке E. Проводим прямую EK в плоскости BDD_1B_1, параллельную BD_1  (K\in DD_1). Прямая MN пересекает плоскости граней CC_1D_1D,  AA_1A_1D в точках R  и S  на прямых CD  и AD соответственно (см. рисунок). Соединяем точки R и K,  S и K. Z – точка пересечения RK и CC_1,  H – точка пересечения KS и AA_1. Пятиугольник ZKHMN – искомое сечение.

б) Площадь сечения будем искать, пользуясь формулой

S_{sechenie}=\frac{S_{proeksia}}{cos\alpha},

где \alpha – угол между плоскостями сечения и основания.

В нашем случае

S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}

\angle KED – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями сечения и основания. Действительно, во-первых, MN – средняя линия треугольника ABC, а значит MN||AC, при этом AC\perp BD, откуда следует, что и BD\perp MN. Во-вторых, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная KE перпендикулярна MN, коль ее проекция  BD на плоскость ABC, в которойлежит MN,  перпендикулярна MN.

Найдем косинус угла KED из треугольника DEK:

Очевидно, BE:BD=1:4, то есть DE=\frac{3BD}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt2}{4}=3\sqrt2.

Далее, KE:BD_1=3:4 (в силу подобия треугольников DEK и  DBD_1 с коэффициентом подобия 3:4, ведь мы говорили, – BE=\frac{BD}{4}), то есть KE=\frac{3BD_1}{4}=\frac{3\cdot 4\sqrt3}{4}=3\sqrt3.

Итак, cos\angle KED=\frac{3\sqrt2}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}.

Несложно найти площадь пятиугольника AMNCD (проекции сечения на плоскость основания):

S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{MNB}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABC}}{4}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABCD}}{8}=

=\frac{7S_{ABCD}}{8}=14.

Наконец, S_{sechenie}=\frac{S_{AMNCD}}{Cos\angle KED}=\frac{14}{\frac{\sqrt6}{3}}=7\sqrt6.

Ответ: 7\sqrt6.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif