В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Плоскость пересекает боковые ребра и
треугольной пирамиды
в точках
и
соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если ,
.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану грани
?
Решение:
Докажем прежде вспомогательную теорему:
Объемы тетраэдров имеющих общий трехгранный угол, относятся как произведения ребер содержащих этот угол.
Первый вопрос, который возникает при построении сечения:
В какой точке требуемое сечение будет пересекать прямую . На ребре
или на его продолжении? Обозначим точку пересечения требуемой плоскости сечения с прямой
за
.
Применим указанную выше теорему к нашей задаче:
Подставляем известные значения:
То есть и точка
принадлежит ребру
Проведем в плоскости через точки
и
прямые, параллельные
Пусть указанные прямые пересекают
в точках
и
Примем за
. согласно условию
Вспомним теорему о пропорциональных отрезках:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.
С учетом того, что , по указанной теореме имеем
Также с учетом того, что , по указанной теореме имеем
Поскольку, как мы уже сказали,
, то
На и
остается
Медиана прямой
делится в том же отношении, в каком находятся
и
.
Ответ:
Добавить комментарий