Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
Тесты
Карта сайта
Контакты
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Плоскость пересекает боковые ребра 
и 
треугольной пирамиды 
в точках 
и 
соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если 
, 
.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану 
грани 
?
Решение:
Докажем прежде вспомогательную теорему:
Объемы тетраэдров имеющих общий трехгранный угол, относятся как произведения ребер содержащих этот угол.
и 
– тетраэдры, имеющие общий трехгранный угол при вершине 
. В данном случае для наглядности 
лежат на ребрах 
, но если хотя бы одна из точек будет лежать на продолжении соответствующего ребра, рассуждения, приводимые ниже, остаются верны.
на плоскость 
Пусть их основания – 
и 
соответственно.
, 
(расписали площади треугольников по формуле 
где 
– угол между сторонами 
и 
).
(из подобия треугольников 
и 
.)
Первый вопрос, который возникает при построении сечения:
В какой точке требуемое сечение будет пересекать прямую 
. На ребре или на его продолжении? Обозначим точку пересечения требуемой плоскости сечения с прямой 
за 
.
Применим указанную выше теорему к нашей задаче:
Подставляем известные значения:
То есть 
и точка принадлежит ребру 
Проведем в плоскости 
через точки 
и 
прямые, параллельные 
Пусть указанные прямые пересекают в точках 
и 
Примем 
за 
. согласно условию 
Вспомним теорему о пропорциональных отрезках:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.
С учетом того, что 
, по указанной теореме имеем 
Также с учетом того, что 
, по указанной теореме имеем 
Поскольку, как мы уже сказали, 
, то 
На 
и 
остается 
Медиана прямой 
делится в том же отношении, в каком находятся 
и 
.
Ответ: 
Добавить комментарий