Задание №16 (С2) Т/Р №93 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK:SA=2:3, SL:SB=4:5.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

Решение:

Докажем прежде вспомогательную теорему:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол. 

+ показать

 

Первый вопрос, который возникает при построении сечения:

В какой точке требуемое сечение будет пересекать прямую SC. На ребре SC или на его продолжении? Обозначим точку пересечения требуемой плоскости сечения с прямой CS за M.

Применим указанную выше теорему к нашей задаче:

\frac{V_{KLMS}}{V_{ABCS}}=\frac{KS\cdot LS\cdot MS}{AS\cdot BS\cdot CS}.

Подставляем известные значения:

\frac{1}{2}=\frac{8MS}{15CS}.

То есть \frac{SM}{SC}=\frac{15}{16} и точка M принадлежит ребру CS.

Проведем в плоскости BCS через точки C и N прямые, параллельные ML. Пусть указанные прямые пересекают SB в точках Z и P.

Примем BL за y. согласно условию SL=4y.

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках:

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

С учетом того, что CN=NB, по указанной теореме имеем ZP=PB.

Также с учетом того, что SM:MC=15:1, по указанной теореме имеем SL:LZ=15:1.  Поскольку, как мы уже сказали, SL=4y, то LZ=\frac{4y}{15}.

На ZP  и  PB остается \frac{y-\frac{4y}{15}}{2}=\frac{11y}{30}

Медиана SN прямой ML делится в том же отношении, в каком находятся  SL и LP.

\frac{SL}{LP}==\frac{4y}{\frac{4y}{15}+\frac{11y}{30}}=\frac{120}{19}.

Ответ: \frac{120}{19}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif