Задание №16 (С2) Т/Р №93 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

Плоскость пересекает боковые ребра $SA$ и $SB$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если $SK:SA=2:3$, $SL:SB=4:5$.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану $SN$ грани $SBC$?

Решение:

Докажем прежде вспомогательную теорему:

Объемы тетраэдров имеющих общий  трехгранный угол, относятся как произведения  ребер содержащих этот угол. 

+ показать

Первый вопрос, который возникает при построении сечения:

В какой точке требуемое сечение будет пересекать прямую $SC$. На ребре $SC$ или на его продолжении? Обозначим точку пересечения требуемой плоскости сечения с прямой $CS$ за $M$.

Применим указанную выше теорему к нашей задаче:

$\frac{V_{KLMS}}{V_{ABCS}}=\frac{KS\cdot LS\cdot MS}{AS\cdot BS\cdot CS}.$

Подставляем известные значения:

$\frac{1}{2}=\frac{8MS}{15CS}.$

То есть $\frac{SM}{SC}=\frac{15}{16}$ и точка $M$ принадлежит ребру $CS.$

Проведем в плоскости $BCS$ через точки $C$ и $N$ прямые, параллельные $ML.$ Пусть указанные прямые пересекают $SB$ в точках $Z$ и $P.$

Примем $BL$ за $y$. согласно условию $SL=4y.$

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках:

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

С учетом того, что $CN=NB$, по указанной теореме имеем $ZP=PB.$

Также с учетом того, что $SM:MC=15:1$, по указанной теореме имеем $SL:LZ=15:1.$  Поскольку, как мы уже сказали, $SL=4y$, то $LZ=\frac{4y}{15}.$

На $ZP$  и  $PB$ остается $\frac{y-\frac{4y}{15}}{2}=\frac{11y}{30}$

Медиана $SN$ прямой $ML$ делится в том же отношении, в каком находятся  $SL$ и $LP$.

$\frac{SL}{LP}==\frac{4y}{\frac{4y}{15}+\frac{11y}{30}}=\frac{120}{19}.$

Ответ: $\frac{120}{19}.$