В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде высота
равна
, а сторона основания равна 6. Из точки
на ребро
опущен перпендикуляр
. Докажите, что прямая
перпендикулярна плоскости
. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани
и
.
Решение:
Во-первых, по условию (при этом, конечно,
лежит в плоскости
).
Во-вторых, по теореме о трех перпендикулярах (действительно, проекция
наклонной
к плоскости
перпендикулярна прямой
плоскости
(ведь
– квадрат), а значит и наклонная
перпендикулярна
).
Итак, перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
а значит
перпендикулярна
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Вспомним, что
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Прямая , перпендикулярная плоскости
, перпендикулярна любой прямой плоскости
, в частности,
А значит, угол между прямыми
и
– искомый угол.
По т. Пифагора из треугольника
Тогда
По т. Пифагора из треугольника
Пусть – середина
.
Площадь треугольника находим двумя разными способами:
Откуда
Обратимся к треугольнику :
По теореме Косинусов
Видим, что угол – тупой.
Угол между прямыми и
(а значит, и между плоскостями
и
) – есть
Ответ:
Подскажите, пожалуйста, можно ли угол между плоскостями выражать через арктангенс? А то везде выражают через арккосинус, меня это смущает немного)
Конечно, можно.