Задание №16 (С2) Т/Р №95 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19, №20.

В правильной четырехугольной пирамиде  PABCD высота PO равна \sqrt7, а сторона основания равна 6. Из точки O на ребро PC опущен перпендикуляр OH. Докажите, что прямая PC перпендикулярна плоскости BDH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани PBC и PCD.

Решение:

Во-первых, PC\perp OH по условию (при этом, конечно, OH лежит в плоскости BDH).

Во-вторых, PC\perp BD по теореме о трех перпендикулярах (действительно, проекция AC наклонной PC к плоскости ABC перпендикулярна прямой BD плоскости ABC (ведь ABCD – квадрат), а значит и наклонная PC перпендикулярна  BD).

Итак, PC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BDH, а значит PC перпендикулярна BDH по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Вспомним, что

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Прямая PC, перпендикулярная плоскости BDH, перпендикулярна любой прямой плоскости BDH, в частности, PC\perp BH,  PC\perp HD. А значит, угол между прямыми BH и HD – искомый угол.

По т. Пифагора из треугольника ACD:

AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2;

Тогда OC=3\sqrt2.

По т. Пифагора из треугольника PCO:

PC=\sqrt{(\sqrt7)^2+(3\sqrt2)^2}=5;

Пусть T – середина DC.

Площадь треугольника DPC находим двумя разными способами:

S_{DPC}=\frac{PT\cdot DC}{2};

 S_{DPC}=\frac{DH\cdot PC}{2}.

Откуда DH=\frac{PT\cdot DC}{PC}=\frac{4\cdot 6}{5}=\frac{24}{5}.

Обратимся к треугольнику BHD:

BH=DH=\frac{24}{5}, BD=6\sqrt2.

По теореме Косинусов

BD^2=BH^2+DH^2-2BH\cdot DH\cdot cosBHD;

72=\frac{2\cdot 24^2}{25}-\frac{2\cdot 24^2}{25}cosBHD;

cosBHD=\frac{\frac{2\cdot 24^2}{25}-72}{\frac{2\cdot 24^2}{25}};

cosBHD=\frac{2\cdot 24^2-72\cdot 25}{2\cdot 24^2};

cosBHD=\frac{24(48-75)}{2\cdot 24^2};

cosBHD=-\frac{9}{16};

Видим, что угол BHD – тупой.

Угол между прямыми BH и HD (а значит, и между плоскостями PBC и PCD) – есть  \pi-arccos(-\frac{9}{16})=arccos\frac{9}{16}.

Ответ: arccos\frac{9}{16}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    Подскажите, пожалуйста, можно ли угол между плоскостями выражать через арктангенс? А то везде выражают через арккосинус, меня это смущает немного)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Конечно, можно.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif