Задание №16 (С2) Т/Р №96 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Дан прямоугольный параллелепипед  $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ и $C$ параллельно прямой $BD_1$.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.

Решение:

а) Пусть $AC$ пересекается с $BD$ в точке $L$. Искомое сечение пересекает плоскость $BDD_1$ по прямой (проходящей через точку $L$), параллельной $BD_1$.

Проведем через $L$ в плоскости $BDD_1$ прямую, параллельную $BD_1$. Пусть указанная прямая пересекает $DD_1$ в точке $M$.

Треугольник $AMC$ – искомое сечение.

б) Построенное сечение отсекает от  прямоугольного параллелепипеда пирамиду $ACDM$. Распишем ее объем $V_1$:

$V_{1}=\frac{AD\cdot DC\cdot MD}{6}.$

Объем $V_2$ второго многогранника, отсеченного от прямоугольного параллелепипеда сечением, будем находить через разность объемов прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и пирамиды $ACDM$.

$V_2=AD\cdot DC\cdot DD_1-V_1$.

При этом, конечно, $DD_1=2MD.$

Итак, $\frac{V_2}{V_1}=\frac{2AD\cdot DC\cdot MD-V_1}{V_1}=\frac{2AD\cdot DC\cdot MD}{\frac{AD\cdot DC\cdot MD}{6}}-1=11.$

Ответ: $11:1.$