Задание №16 (С2) Т/Р №97 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K – середина ребра C_1D_1, точка P – середина ребра AD, точка M – середина ребра CC_1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 6.

Решение:

a) Пусть прямая KM пересекается с прямой DC (обе лежат в плоскости грани DCC_1) в точке S.

Пусть SP пересекается с BC в точке N.

Через точку P в плоскости грани AA_1D_1 проводим прямую, параллельную MN (ведь параллельные плоскости (BCC_1), (ADD_1) пересекаются плоскостью сечения по параллельным прямым (по свойству параллельных плоскостей)). Пусть указанная прямая пересекает ребро A_1D_1 в точке L.

Сечение LKMNP – искомое.

б) Проекция сечения LKMNP на плоскость ABC – есть пятиугольник PNCXH.

Будем искать площадь сечения следующим образом (подробно – здесь):

S_{LKMNP}=\frac{S_{PNCXH}}{cos\alpha},

где \alpha – угол между плоскостями LKMNP и PNCXH.

При этом \alpha=\angle LFH, где LF\perp PN (а значит и FH\perp PN (по теореме о трех перпендикулярах)).

Далее – кратко.

Из прямоугольного треугольника PSD:

PS=\sqrt{DS^2+DP^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}.

Пусть RD\perp PS.

Распишем площадь треугольника PSD двумя способами:

\frac{1}{2}\cdot RD\cdot PS=\frac{1}{2}\cdot PD\cdot DS;

RD=\frac{3\cdot 9}{3\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}};

Треугольники HXD и PSD подобны, коэффициент подобия – \frac{XD}{SD}=\frac{1}{3}. То есть DH=\frac{PD}{3}=1, а PH=2.

Треугольники PFH и PRD подобны, коэффициент подобия – \frac{PH}{PD}=\frac{2}{3}. Значит FH=\frac{2RD}{3}=\frac{6}{\sqrt{10}}.

Из прямоугольного треугольника FHL:

FL=\sqrt{FH^2+HL^2}=\sqrt{(\frac{6}{\sqrt{10}})^2+6^2}=3\sqrt{\frac{22}{5}}.

cos\alpha=\frac{FH}{FL}=\frac{\frac{6}{\sqrt{10}}}{3\sqrt{\frac{22}{5}}}=\frac{1}{\sqrt{11}}.

Далее, S_{PHXCN}=S_{PDS}-S_{HXD}-S_{NCS}=\frac{27}{2}-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}.

 Наконец, S_{LKMNP}=\frac{S_{PHXCN}}{cos\alpha}=\frac{\frac{21}{2}}{\frac{1}{\sqrt{11}}}=\frac{21\sqrt{11}}{2}.

Ответ: \frac{21\sqrt{11}}{2}.

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Ранис

    В предпоследней строчке S pnxch , а не S pnxch

    [ Ответить ]
    • Ранис

      А не S phxch

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Ранис, спасибо! Подправила.

        [ Ответить ]
  2. Костя

    в пункте “б” я не понял, как находится CS=3, подскажите пжлст.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольник KMC_1 равен треугольнику SMC, ну а раз KC_1=3, то и SC=3.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif