Задание №16 Т/Р №101 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , косинус угла между прямыми и равен .
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и параллельно прямой .
б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.

Решение:

a) Пусть пересекается с в точке . Плоскость сечения пересекает плоскость по прямой (содержащей точку ), параллельной  . Пусть указанная прямая пересекается с ребром в точке .

Заметим (с учетом того, что – середина ),   – середина (по теореме о пропорциональных отрезках).

Треугольник – искомое сечение.

Уточним, косинус какого угла равен

Так как , то .

Меньшим углом при пересечении прямых будет именно угол (угол – тупой ()).

Итак,

б) 

Наша задача – найти

Пусть . По теореме о трех перпендикулярах  и 

Находим из равнобедренного треугольника :

где

Итак,

Из треугольника по т. Пифагора

Так как по условию ,  то   . Откуда

Из треугольника  по т. Пифагора:

Итак,

Ответ: