В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В прямоугольном параллелепипеде известно, что
,
косинус угла между прямыми
и
равен
.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и
параллельно прямой
.
б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.
Решение:
a) Пусть пересекается с
в точке
. Плоскость сечения пересекает плоскость
по прямой (содержащей точку
), параллельной
. Пусть указанная прямая пересекается с ребром
в точке
.
Заметим (с учетом того, что – середина
),
– середина
(по теореме о пропорциональных отрезках).
Треугольник – искомое сечение.
Уточним, косинус какого угла равен
Так как , то
.
Меньшим углом при пересечении прямых будет именно угол
(угол
– тупой (
)).
Итак,
б)
Наша задача – найти
Пусть . По теореме о трех перпендикулярах и
Находим из равнобедренного треугольника
:
где
Итак,
Из треугольника по т. Пифагора
Так как по условию , то
. Откуда
Из треугольника по т. Пифагора:
Итак,
Ответ:
Добавить комментарий