Задание №16 Т/Р №101 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB=8, BC=6, косинус угла между прямыми BD и AC_1 равен 0,14.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно прямой AC_1.
б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.

Решение:

a) Пусть AC пересекается с BD в точке O. Плоскость сечения пересекает плоскость ACC_1 по прямой (содержащей точку O), параллельной  AC_1. Пусть указанная прямая пересекается с ребром CC_1 в точке K.

Заметим (с учетом того, что O – середина AC),  K – середина CC_1 (по теореме о пропорциональных отрезках).

Треугольник BKDискомое сечение.

Уточним, косинус какого угла равен 0,14.

Так как OK\parallel AC_1, то \angle (AC_1;BD)=\angle (OK;BD).

Меньшим углом при пересечении прямых BD, OK будет именно угол KOB (угол KOD – тупой (|DK|>|BC|)).

Итак, cos\angle (AC_1;BD)=cos\angle BOK=0,14.

б) V_{BCDK}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot  CK=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot CK=8CK.

Наша задача – найти CK.

Пусть CH\perp BD. По теореме о трех перпендикулярах  и KH\perp BD.

Находим CH из равнобедренного треугольника BCO (BO=OC=5, BC=6):

CH\cdot BO=h_{BC}\cdot BC, где

h_{BC}=\sqrt{BO^2-(\frac{BC}{2})^2}=4.

Итак,

CH=\frac{4\cdot 6}{5}=\frac{24}{5}.

Из треугольника OCH по т. Пифагора HO=\sqrt{5^2-\frac{24^2}{25}}=\frac{7}{5}.

Так как по условию cosKOH=0,14,  то   \frac{OH}{OK}=0,14. Откуда OK=10.

Из треугольника OCK  по т. Пифагора:

KC=\sqrt{OK^2-OC^2}=\sqrt{100-25}=5\sqrt3.

Итак,

V_{BCDK}=8CK=8\cdot 5\sqrt3=40\sqrt3.

Ответ: 40\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif