В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом .
а) Докажите, что существует точка , одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Решение:
a) Пусть – апофемы граней
и
соответственно.
Тогда по т. о трех перпендикулярах
(где
– проекция вершины пирамиды на плоскость основнаия).
А поскольку треугольники
,
и
равны по катету и острому углу (
), то
. То есть
– точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности).
Плоскости и
перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости
к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен
. Аналогично с остальными парами плоскостей
;
;
.
Возьмем на прямой такую точку
, что
, где
. Автоматически имеем, что
равноудалена от всех граней пирамиды, то есть является центром вписанной сферы.
б) Так как – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная)
и
.
Высота трапеции есть , то есть
.
Тогда из прямоугольного треугольника с углом в
находим
Итак, находим площадь полной поверхности пирамиды
Ответ: 468.
Спасибо, Елена. Беру задачу на урок в 11 кл. Работаем в теме “Вписанная сфера в пирамиду”. С уважением, Елена.