Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
Тесты
Карта сайта
Контакты
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 
.
а) Докажите, что существует точка 
, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Решение:
a) Пусть 
– апофемы граней 
и 
соответственно.
Тогда по т. о трех перпендикулярах 
(где 
– проекция вершины пирамиды на плоскость основнаия).
А поскольку треугольники 
, 
и 
равны по катету и острому углу (
), то 
. То есть – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности).
Плоскости и 
перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен . Аналогично с остальными парами плоскостей 
; 
; 
.
Возьмем на прямой 
такую точку , что 
, где 
. Автоматически имеем, что равноудалена от всех граней пирамиды, то есть является центром вписанной сферы.
б) Так как – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) 
и 
.
Высота трапеции есть 
, то есть 
.
Тогда из прямоугольного треугольника 
с углом в находим 
Итак, находим площадь 
полной поверхности пирамиды
Ответ: 468.
Спасибо, Елена. Беру задачу на урок в 11 кл. Работаем в теме “Вписанная сфера в пирамиду”. С уважением, Елена.