Задание №16 Т/Р №103 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15№17№18№19№20

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом $60^{\circ}$.

а) Докажите, что существует точка $O$, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Решение:

a) Пусть $SN, SP, SQ, SM$ – апофемы граней $ABS, BCS, DCS$ и $ADC$ соответственно.

Тогда по т. о трех перпендикулярах $HN\perp AB,$ $HP\perp BC,$ $HQ\perp DC,$  $HM\perp AD$ (где $H$ – проекция вершины пирамиды на плоскость основнаия).

kj

А поскольку треугольники $NHS,$  $PHS$,  $QHS$ и $MHS$ равны по катету и острому углу ($\angle SNH=…\angle SMH=60^{\circ}$), то $HN=HP=HQ=HM$. То есть $H$ – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности).

Плоскости $MHS$ и $ADS$ перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости $MHS$ к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен $ADS$. Аналогично с остальными парами  плоскостей $ABS, NHS$; $BCS, PHS$; $DCS, QHS$.

Возьмем на прямой $HS$ такую точку $O$, что $OH=OT$, где $OT\perp MS$. Автоматически имеем,  что $O$ равноудалена от всех граней пирамиды, то есть является центром вписанной сферы.

б) Так как $H$ – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то  по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) $BP=PC=CQ=NB$ и $AM=MD=AN=DQ$.

oi

Высота трапеции есть $\sqrt{13^2-5^2}$, то есть $12$.

Тогда из прямоугольного треугольника $MSH$ с углом в $60^{\circ}$ находим  $MS:$

$MS=2\cdot MH=12.$

kjkj

Итак, находим площадь $S$ полной поверхности пирамиды

$S=S_{ABCD}+\frac{1}{2}\cdot P_{ABCD}\cdot MS=\frac{8+18}{2}\cdot 12+\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 12=468.$

Ответ: 468.

Печать страницы
Один комментарий
  1. Елена

    Спасибо, Елена. Беру задачу на урок в 11 кл. Работаем в теме “Вписанная сфера в пирамиду”. С уважением, Елена.

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




одиннадцать − 7 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif