Задание №16 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60^{\circ}.

а) Докажите, что существует точка O, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Решение:

a) Пусть SN, SP, SQ, SM – апофемы граней ABS, BCS, DCS и ADC соответственно.

Тогда по т. о трех перпендикулярах HN\perp AB, HP\perp BC, HQ\perp DC,  HM\perp AD (где H – проекция вершины пирамиды на плоскость основнаия).

А поскольку треугольники NHS,  PHS,  QHS и MHS равны по катету и острому углу (\angle SNH=...\angle SMH=60^{\circ}), то HN=HP=HQ=HM. То есть H – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности).

Плоскости MHS и ADS перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости MHS к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен ADS. Аналогично с остальными парами  плоскостей ABS, NHSBCS, PHS; DCS, QHS.

Возьмем на прямой HS такую точку O, что OH=OT, где OT\perp MS. Автоматически имеем,  что O равноудалена от всех граней пирамиды, то есть является центром вписанной сферы.

б) Так как H – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то  по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) BP=PC=CQ=NB и AM=MD=AN=DQ.

Высота трапеции есть \sqrt{13^2-5^2}, то есть 12.

Тогда из прямоугольного треугольника MSH с углом в 60^{\circ} находим  MS:

MS=2\cdot MH=12.

Итак, находим площадь S полной поверхности пирамиды

S=S_{ABCD}+\frac{1}{2}\cdot P_{ABCD}\cdot MS=\frac{8+18}{2}\cdot 12+\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 12=468.

Ответ: 468.

Печать страницы
Один комментарий
  1. Елена

    Спасибо, Елена. Беру задачу на урок в 11 кл. Работаем в теме “Вписанная сфера в пирамиду”. С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif