Задание 16 Т/Р №105 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ известны ребра $AB=8\sqrt3$  и $SC=17$. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой $AM$, где $M$ – точка пересечения медиан грани $SBC$.

Решение:

Пусть $O$ – проекция вершины $S$ на плоскость основания.

Пусть  $M$ – точка пересечения медиан грани $SBC.$

Точка $M$ прямой $ST$ ($T$ – середина $BC$) проецируется в точку $H$ прямой $AT$, являющейся проекцией $ST.$

Поскольку (по свойству медиан) $SM:MT=2:1$, то и $OH:HT=2:1$ (по теореме о пропорциональных отрезках).

При этом (по свойству медиан) $OT=\frac{1}{3}AT,$  $AT=\sqrt{AC^2-CT^2}=\sqrt{64\cdot 3-16\cdot 3}=12.$

То есть $OT=4,$  $OH=\frac{8}{3},$  $AH=\frac{32}{3}.$

Из треугольника $OBS:$

$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{SB^2-(\frac{2}{3}AT)^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15.$

Очевидно, $MH=\frac{1}{3}SO=5.$

Наконец, из треугольника $AMH:$

$tgMAH=\frac{MH}{AH}=\frac{5}{\frac{32}{3}}=\frac{15}{32}.$

Итак, $\angle (AM;(ABC))=\angle MAH=arctg\frac{15}{32}.$

Ответ: $arctg\frac{15}{32}.$