Задание №16 Т/Р №106 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $\sqrt2$, а боковое ребро равно 2. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $DA_1C_1$.

Решение:

Расстояние от $M$ до $DA_1C_1$ – есть длина высоты $h$ пирамиды $MDA_1C_1$  (основание – $DA_1C_1$).

Найдем объем пирамиды $MDA_1C_1$, но теперь уже беря в качестве основания грань $MA_1D$. Заметим, $C_1D_1\perp MA_1D.$

$V=\frac{1}{3}S_{MA_1D}\cdot C_1D_1;$

$V=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}A_1M\cdot AD)\cdot C_1D_1;$

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt2\cdot \sqrt2;$

$V=\frac{1}{3}.$

С другой стороны, $V=\frac{1}{3}S_{DA_1C_1}\cdot h.$

Найдем $S_{DA_1C_1}.$

Треугольник $A_1C_1D$ – равнобедренный с основанием $A_1C_1=2$ и высотой $DH$, равной $\sqrt5.$

$S_{DA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt5=\sqrt5.$

Итак, c одной стороны $V=\frac{1}{3}$, с другой $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt5\cdot h.$

Тогда

$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt5\cdot h;$

$h=\frac{\sqrt5}{5}.$

Ответ: $\frac{\sqrt5}{5}.$