Задание №16 Т/Р №109 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Решение:

Пусть $O$ – центр вписанного/описанного шаров пирамиды $ABCDS$ (с высотой $SH$).

Двугранный угол при стороне основания пирамиды – угол $STH$, где $T$ – середина $DC.$

Пусть $OS=OD=R,$  $OH=OK=r$ (где $K$ – точка касания вписанного шара с гранью $CSD$, $OK\perp ST$).

Пусть $DT=x.$ Очевидно, и $HT=KT=x.$

iuj

Заметим, $SK=HD=\sqrt{R^2-r^2}$ и $HD=x\sqrt2.$

Из треугольника $STH$:

 $cosSTH=\frac{HT}{ST}=\frac{x}{x+\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{x}{x+x\sqrt2}=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

Ответ: $arccos(\sqrt2-1).$

Печать страницы
комментариев 5
  1. Дима

    Подскажите, пожалуйста, почему HD=SK?

    [ Ответить ]
    • Дима

      А всё, дошло. Извиняюсь

      [ Ответить ]
      • egeMax

        ;)

        [ Ответить ]
  2. smb

    Извините, а почему мы x заменили на 1?)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы не заменяли… Произошло сокращение «иксов» в числителе и знаменателе.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два × четыре =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif