Задание №16 Т/Р №109 А. Ларина

Елена Репина 2015-03-19 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Решение:

Пусть $O$ – центр вписанного/описанного шаров пирамиды $ABCDS$ (с высотой $SH$ ).

Двугранный угол при стороне основания пирамиды – угол $STH$ , где $T$ – середина $DC.$

Пусть $OS=OD=R,$ $OH=OK=r$ (где $K$ – точка касания вписанного шара с гранью $CSD$ , $OK\perp ST$ ).

Пусть $DT=x.$ Очевидно, и $HT=KT=x.$

iuj

Заметим, $SK=HD=\sqrt{R^2-r^2}$ и $HD=x\sqrt2.$

Из треугольника $STH$ :

$cosSTH=\frac{HT}{ST}=\frac{x}{x+\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{x}{x+x\sqrt2}=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

Ответ: $arccos(\sqrt2-1).$

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Дима

2015-04-04 в 17:05

Подскажите, пожалуйста, почему HD=SK?

[ Ответить ]
- Дима
  
  2015-04-04 в 17:07
  
  А всё, дошло. Извиняюсь
  
  [ Ответить ]
  - egeMax
    
    2015-04-04 в 22:02
    
    ;)
    
    [ Ответить ]
smb

2015-05-11 в 18:46

Извините, а почему мы x заменили на 1?)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-11 в 20:38
  
  Мы не заменяли… Произошло сокращение «иксов» в числителе и знаменателе.
  
  [ Ответить ]

Задание №16 Т/Р №109 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ