Задание №16 Т/Р №109 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Решение:

Пусть $O$ – центр вписанного/описанного шаров пирамиды $ABCDS$ (с высотой $SH$).

Двугранный угол при стороне основания пирамиды – угол $STH$, где $T$ – середина $DC.$

Пусть $OS=OD=R,$  $OH=OK=r$ (где $K$ – точка касания вписанного шара с гранью $CSD$, $OK\perp ST$).

Пусть $DT=x.$ Очевидно, и $HT=KT=x.$

Заметим, $SK=HD=\sqrt{R^2-r^2}$ и $HD=x\sqrt2.$

Из треугольника $STH$:

 $cosSTH=\frac{HT}{ST}=\frac{x}{x+\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{x}{x+x\sqrt2}=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

Ответ: $arccos(\sqrt2-1).$