В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Ребро куба равно
. Точка
– середина ребра
, а точка
лежит на ребре
, причем
. Определите расстояние между прямыми
и
.
Решение:
Проведем в плоскости грани через точку
прямую (
), параллельную
Тогда расстояние между прямыми
и
– есть расстояние от любой точки прямой
до плоскости
, параллельной
.
Будем искать расстояние от точки до плоскости
Пусть прямая пересекается с прямой
в точке
Пусть прямая пересекается с прямой
в точке
– прямая пересечения
и плоскости основания
Пусть Тогда, если мы проведем наклонную
к плоскости
(в плоскости
) перпендикулярно
, то ее проекция (
) будет перпендикулярна
по т. о трех перпендикулярах.
Будем искать как
Треугольники равны, при этом
тогда и
Треугольники (
) подобны и
Тогда
Из треугольника :
(расписали площадь двумя способами).
Тогда
Из треугольника
Наконец,
Ответ:
Уважаемая Елена Юрьевна!Очень хочется поделиться другим способом решения. Рассмотрим искомое расстояние как высоту пирамиды BTNF. Её объём считается очень легко, так как ребра пирамиды FTBN взаимно перпендикулярны. Он равен 16/15. Пересчитаем его для обозначения пирамиды BTNF. Треугольник FTN – равнобедренный и его площадь легко считается. Остаётся приравнять объёмы и выразить высоту – расстояние.Спасибо за внимание.
Татьяна Евгеньевна, спасибо!
Красивый способ!
А я в векторах считала. Через нулевые скалярные произведения.
Хороша задача! :)
На примере одной задачи можно много приемов отработать!