Главная › 13 (С2) Стереометр. задачи › Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

26 Мар 2015

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиСтереометрияТ/P A. Ларина

Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

Елена Репина 2015-03-26 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$ . Точка $N$ – середина ребра $CB$ , а точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ , причем $AM:MA_1=3:1$ . Определите расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$ .

Решение:

Проведем в плоскости грани $BB_1C_1$ через точку $N$ прямую ( $NL$ ), параллельную $BC_1.$ Тогда расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$ – есть расстояние от любой точки прямой $BC_1$ до плоскости $MNL$ , параллельной $BC_1$ .

Будем искать расстояние от точки $B$ до плоскости $MNL.$

Пусть прямая $LN$ пересекается с прямой $BB_1$ в точке $F.$

Пусть прямая $MF$ пересекается с прямой $AB$ в точке $T.$

$NT$ – прямая пересечения $MNL$ и плоскости основания $ABC.$

Пусть $BH\perp MNL.$ Тогда, если мы проведем наклонную $BK$ к плоскости $MNL$ (в плоскости $ABC$ ) перпендикулярно $NT$ , то ее проекция ( $KH$ ) будет перпендикулярна $NT$ по т. о трех перпендикулярах.

Будем искать $BH$ как $BK\cdot Sin BKH.$

Треугольники $NCL,NBF$ равны, при этом $CL=LN=2,$ тогда и $BF=2.$

Треугольники $TBF,MQF$ ( $MQ\parallel AB$ ) подобны и $k=\frac{FB}{FQ}=\frac{2}{5}.$ Тогда $TB=\frac{2}{5}MQ=\frac{8}{5}.$

Из треугольника $TBN$ : $TB\cdot NB=KB\cdot TN$ (расписали площадь двумя способами).

Тогда $KB=\frac{TB\cdot ND}{TN}=\frac{\frac{8}{5}\cdot 2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{5})^2}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{\sqrt{164}}{5}}=\frac{8}{\sqrt{41}}.$

Из треугольника $KBF:$

$SinBKF=\frac{BF}{KF}=\frac{2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{\sqrt{41}})^2}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{228}{41}}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}.$

Наконец, $BH=BK\cdot Sin BKH=\frac{8}{\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}=\frac{8}{\sqrt{57}}.$

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{57}}.$

Автор: egeMax | комментария 4

Печать страницы

комментария 4

Татьяна Евгеньевна Бондаренко

2015-04-01 в 21:41

Уважаемая Елена Юрьевна!Очень хочется поделиться другим способом решения. Рассмотрим искомое расстояние как высоту пирамиды BTNF. Её объём считается очень легко, так как ребра пирамиды FTBN взаимно перпендикулярны. Он равен 16/15. Пересчитаем его для обозначения пирамиды BTNF. Треугольник FTN – равнобедренный и его площадь легко считается. Остаётся приравнять объёмы и выразить высоту – расстояние.Спасибо за внимание.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-01 в 21:43
  
  Татьяна Евгеньевна, спасибо!
  Красивый способ!
  
  [ Ответить ]
Мария Алексеевна

2015-04-03 в 08:47

А я в векторах считала. Через нулевые скалярные произведения.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-03 в 13:09
  
  Хороша задача! :)
  На примере одной задачи можно много приемов отработать!
  
  [ Ответить ]

Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ