Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18, №19№20.

Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 4. Точка N – середина ребра CB, а точка M лежит на ребре AA_1, причем AM:MA_1=3:1. Определите расстояние между прямыми MN и BC_1.

Решение:

Проведем в плоскости грани BB_1C_1 через точку N прямую (NL), параллельную BC_1. Тогда расстояние между прямыми MN и BC_1 – есть расстояние от любой точки прямой BC_1 до плоскости MNL, параллельной BC_1.

Будем искать расстояние от точки B до плоскости MNL.

Пусть прямая LN пересекается с прямой BB_1 в точке F.

Пусть  прямая MF пересекается с прямой AB в точке T.

NT – прямая пересечения MNL и плоскости основания ABC.

Пусть BH\perp MNL. Тогда, если мы проведем наклонную BK к плоскости MNL (в плоскости ABC) перпендикулярно NT, то ее проекция (KH) будет перпендикулярна NT по т. о трех перпендикулярах.

Будем искать BH как BK\cdot Sin BKH.

Треугольники NCL,NBF равны, при этом CL=LN=2, тогда и BF=2.

Треугольники TBF,MQF (MQ\parallel AB) подобны и k=\frac{FB}{FQ}=\frac{2}{5}. Тогда TB=\frac{2}{5}MQ=\frac{8}{5}.

Из треугольника TBN:   TB\cdot NB=KB\cdot TN (расписали площадь двумя способами).

Тогда KB=\frac{TB\cdot ND}{TN}=\frac{\frac{8}{5}\cdot 2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{5})^2}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{\sqrt{164}}{5}}=\frac{8}{\sqrt{41}}.

Из  треугольника KBF:

SinBKF=\frac{BF}{KF}=\frac{2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{\sqrt{41}})^2}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{228}{41}}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}.

Наконец, BH=BK\cdot Sin BKH=\frac{8}{\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}=\frac{8}{\sqrt{57}}.

Ответ: \frac{8}{\sqrt{57}}.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Уважаемая Елена Юрьевна!Очень хочется поделиться другим способом решения. Рассмотрим искомое расстояние как высоту пирамиды BTNF. Её объём считается очень легко, так как ребра пирамиды FTBN взаимно перпендикулярны. Он равен 16/15. Пересчитаем его для обозначения пирамиды BTNF. Треугольник FTN – равнобедренный и его площадь легко считается. Остаётся приравнять объёмы и выразить высоту – расстояние.Спасибо за внимание.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, спасибо!
      Красивый способ!

      [ Ответить ]
  2. Мария Алексеевна

    А я в векторах считала. Через нулевые скалярные произведения.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Хороша задача! :)
      На примере одной задачи можно много приемов отработать!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif