Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№17№18, №19№20

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$. Точка $N$ – середина ребра $CB$, а точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, причем $AM:MA_1=3:1$. Определите расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$.

Решение:

Проведем в плоскости грани $BB_1C_1$ через точку $N$ прямую ($NL$), параллельную $BC_1.$ Тогда расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$ – есть расстояние от любой точки прямой $BC_1$ до плоскости $MNL$, параллельной $BC_1$.

Будем искать расстояние от точки $B$ до плоскости $MNL.$

jh

Пусть прямая $LN$ пересекается с прямой $BB_1$ в точке $F.$

Пусть  прямая $MF$ пересекается с прямой $AB$ в точке $T.$

$NT$ – прямая пересечения $MNL$ и плоскости основания $ABC.$

Пусть $BH\perp MNL.$ Тогда, если мы проведем наклонную $BK$ к плоскости $MNL$ (в плоскости $ABC$) перпендикулярно $NT$, то ее проекция ($KH$) будет перпендикулярна $NT$ по т. о трех перпендикулярах.

Будем искать $BH$ как $BK\cdot Sin BKH.$

Треугольники $NCL,NBF$ равны, при этом $CL=LN=2,$ тогда и $BF=2.$

Треугольники $TBF,MQF$ ($MQ\parallel AB$) подобны и $k=\frac{FB}{FQ}=\frac{2}{5}.$ Тогда $TB=\frac{2}{5}MQ=\frac{8}{5}.$

Из треугольника $TBN$:   $TB\cdot NB=KB\cdot TN$ (расписали площадь двумя способами).

Тогда $KB=\frac{TB\cdot ND}{TN}=\frac{\frac{8}{5}\cdot 2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{5})^2}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{\sqrt{164}}{5}}=\frac{8}{\sqrt{41}}.$

Из  треугольника $KBF:$

$SinBKF=\frac{BF}{KF}=\frac{2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{\sqrt{41}})^2}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{228}{41}}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}.$

Наконец, $BH=BK\cdot Sin BKH=\frac{8}{\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}=\frac{8}{\sqrt{57}}.$

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{57}}.$

Печать страницы
комментария 4
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Уважаемая Елена Юрьевна!Очень хочется поделиться другим способом решения. Рассмотрим искомое расстояние как высоту пирамиды BTNF. Её объём считается очень легко, так как ребра пирамиды FTBN взаимно перпендикулярны. Он равен 16/15. Пересчитаем его для обозначения пирамиды BTNF. Треугольник FTN – равнобедренный и его площадь легко считается. Остаётся приравнять объёмы и выразить высоту – расстояние.Спасибо за внимание.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, спасибо!
      Красивый способ!

      [ Ответить ]
  2. Мария Алексеевна

    А я в векторах считала. Через нулевые скалярные произведения.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Хороша задача! :)
      На примере одной задачи можно много приемов отработать!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




3 + шестнадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif