Задание №16 Т/Р 110 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$. Точка $N$ – середина ребра $CB$, а точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, причем $AM:MA_1=3:1$. Определите расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$.

Решение:

Проведем в плоскости грани $BB_1C_1$ через точку $N$ прямую ($NL$), параллельную $BC_1.$ Тогда расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$ – есть расстояние от любой точки прямой $BC_1$ до плоскости $MNL$, параллельной $BC_1$.

Будем искать расстояние от точки $B$ до плоскости $MNL.$

Пусть прямая $LN$ пересекается с прямой $BB_1$ в точке $F.$

Пусть  прямая $MF$ пересекается с прямой $AB$ в точке $T.$

$NT$ – прямая пересечения $MNL$ и плоскости основания $ABC.$

Пусть $BH\perp MNL.$ Тогда, если мы проведем наклонную $BK$ к плоскости $MNL$ (в плоскости $ABC$) перпендикулярно $NT$, то ее проекция ($KH$) будет перпендикулярна $NT$ по т. о трех перпендикулярах.

Будем искать $BH$ как $BK\cdot Sin BKH.$

Треугольники $NCL,NBF$ равны, при этом $CL=LN=2,$ тогда и $BF=2.$

Треугольники $TBF,MQF$ ($MQ\parallel AB$) подобны и $k=\frac{FB}{FQ}=\frac{2}{5}.$ Тогда $TB=\frac{2}{5}MQ=\frac{8}{5}.$

Из треугольника $TBN$:   $TB\cdot NB=KB\cdot TN$ (расписали площадь двумя способами).

Тогда $KB=\frac{TB\cdot ND}{TN}=\frac{\frac{8}{5}\cdot 2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{5})^2}}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{\sqrt{164}}{5}}=\frac{8}{\sqrt{41}}.$

Из  треугольника $KBF:$

$SinBKF=\frac{BF}{KF}=\frac{2}{\sqrt{2^2+(\frac{8}{\sqrt{41}})^2}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{228}{41}}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}.$

Наконец, $BH=BK\cdot Sin BKH=\frac{8}{\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{57}}=\frac{8}{\sqrt{57}}.$

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{57}}.$