Задание №16 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Шар касается основания ABC правильной треугольной пирамиды SABC в точке B и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Решение:

Пусть O – центр шара.

Так как шар касается основания ABC (в точке B), то  OB\perp ABC.

Пусть K – точка касания шара с ребром SA.

По свойству отрезков касательных AB=AK=3. Тогда SK=1.

Пусть H – центр основания. Заметим, BH – это \frac{2}{3} высоты/медианы/биссектрисы правильного треугольника ABC со стороной 3, то есть BH=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt3.

Заметим также, SH=\sqrt{BS^2-BH^2}=\sqrt{4^2-3}=\sqrt{13}.

Проведем OQ\parallel BH,  Q\in SH. Очевидно, OQ\perp SH,   OQ=BH=\sqrt3.

Пусть R – радиус шара.

Из треугольника OSK:

OS^2=OK^2+KS^2;

OS^2=R^2+1     (1)

Из треугольника OSQ:

OS^2=SQ^2+OQ^2;

OS^2=(SH-QH)^2+BH^2;

OS^2=(\sqrt{13}-R)^2+(\sqrt{3})^2;

OS^2=16-2\sqrt{13}R+R^2   (2)

Из (1) и (2) имеем:

R^2+1=R^2-2\sqrt{13}R+16;

R=\frac{15}{2\sqrt{13}}.

Ответ: \frac{15}{2\sqrt{13}}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif