Задание №16 Т/Р №111 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Шар касается основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ в точке $B$ и ее бокового ребра $SA$. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Решение:

Пусть $O$ – центр шара.

Так как шар касается основания $ABC$ (в точке $B$), то  $OB\perp ABC$.

Пусть $K$ – точка касания шара с ребром $SA.$

По свойству отрезков касательных $AB=AK=3.$ Тогда $SK=1.$

Пусть $H$ – центр основания. Заметим, $BH$ – это $\frac{2}{3}$ высоты/медианы/биссектрисы правильного треугольника $ABC$ со стороной $3$, то есть $BH=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt3.$

Заметим также, $SH=\sqrt{BS^2-BH^2}=\sqrt{4^2-3}=\sqrt{13}.$

Проведем $OQ\parallel BH,$  $Q\in SH.$ Очевидно, $OQ\perp SH,$   $OQ=BH=\sqrt3.$

Пусть $R$ – радиус шара.

Из треугольника $OSK:$

$OS^2=OK^2+KS^2;$

$OS^2=R^2+1$     (1)

Из треугольника $OSQ:$

$OS^2=SQ^2+OQ^2;$

$OS^2=(SH-QH)^2+BH^2;$

$OS^2=(\sqrt{13}-R)^2+(\sqrt{3})^2;$

$OS^2=16-2\sqrt{13}R+R^2$   (2)

Из (1) и (2) имеем:

$R^2+1=R^2-2\sqrt{13}R+16;$

$R=\frac{15}{2\sqrt{13}}.$

Ответ: $\frac{15}{2\sqrt{13}}.$