Главная › 13 (С2) Стереометр. задачи › Задание №16 Т/Р №111 А. Ларина

02 Апр 2015

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиСтереометрияТ/P A. Ларина

Задание №16 Т/Р №111 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-02 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Шар касается основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ в точке $B$ и ее бокового ребра $SA$ . Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Решение:

Пусть $O$ – центр шара.

Так как шар касается основания $ABC$ (в точке $B$ ), то $OB\perp ABC$ .

Пусть $K$ – точка касания шара с ребром $SA.$

По свойству отрезков касательных $AB=AK=3.$ Тогда $SK=1.$

iuj

Пусть $H$ – центр основания. Заметим, $BH$ – это $\frac{2}{3}$ высоты/медианы/биссектрисы правильного треугольника $ABC$ со стороной $3$ , то есть $BH=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt3.$

Заметим также, $SH=\sqrt{BS^2-BH^2}=\sqrt{4^2-3}=\sqrt{13}.$

Проведем $OQ\parallel BH,$ $Q\in SH.$ Очевидно, $OQ\perp SH,$ $OQ=BH=\sqrt3.$

Пусть $R$ – радиус шара.

Из треугольника $OSK:$

$OS^2=OK^2+KS^2;$

$OS^2=R^2+1$ (1)

Из треугольника $OSQ:$

$OS^2=SQ^2+OQ^2;$

$OS^2=(SH-QH)^2+BH^2;$

$OS^2=(\sqrt{13}-R)^2+(\sqrt{3})^2;$

$OS^2=16-2\sqrt{13}R+R^2$ (2)

Из (1) и (2) имеем:

$R^2+1=R^2-2\sqrt{13}R+16;$

$R=\frac{15}{2\sqrt{13}}.$

Ответ: $\frac{15}{2\sqrt{13}}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы