В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является правильный треугольник
со стороной
. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол
. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.
Решение:
Так как каждая боковая грань образует с плоскостью основания один и тот же угол, то вершина пирамиды проецируется либо в центр вписанной окружности треугольника
, либо в центр вневписанной окружности треугольника
Рассмотрим первый случай.
Пусть – середина
Тогда По т. о трех перпендикулярах и
– угол наклона боковой грани
к плоскости основания.
Заметим (если – центр
),
Так как то
, откуда
Далее, из
Если – точка касания вписанного в пирамиду шара (c центром
) с гранью
, то пусть
.
Из подобия треугольников и
следует:
Рассмотрим второй случай.
Будем искать радиус вписанного в пирамиду шара через объем пирамиды:
(Доказательство формулы можно посмотреть, например, здесь)
Пусть также, как и в первом случае – проекция вершины пирамиды на плоскость основания,
– cередина
Несложно заметить, .
Тогда
Откуда
Далее,
Наконец,
Ответ: или
Почему HQ=3sqrt(3) и почему S_APC=S_APB=S_BCP?
1)
– из прямоугольного треугольника
с углом
, равным
и катетом
равным 3.
, так как
, а также равны между собой апофемы граней, что следует из равенства треугольников
(по двум катетам).
2)
Понятно. Спасибо:)
Вот блин ёмаё,упростить можно?
Никак не могу понять, почему QCH равен 60 градусам. Единственное, к чему пришла: выходит, что треугольники ABC и ACQ равны. Получается, мы сами берём такое построение, чтобы точно знать размеры?
Анна, вы имеете ввиду второй случай?
Так угол ECH равен 120 градусам, потому что он является смежным с углом BCA, равным 60.
А уж тогда угол QCH равен 60 градусам, поскольку QC – биссектриса угла C.
Если остались вопросы, обращайтесь ;)
Спасибо огромное! :)