Задание №16 Т/Р №112 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Основанием пирамиды $PABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha=arccos0,6$. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Решение:

Так как каждая боковая грань образует с плоскостью основания  $ABC$ один и тот же угол, то вершина пирамиды проецируется либо в центр вписанной окружности треугольника $ABC$, либо в центр вневписанной окружности треугольника $ABC.$

Рассмотрим первый случай.

iuh

Пусть $H$ – середина $AC.$

Тогда $BH\perp AC.$ По т. о трех перпендикулярах и $PH\perp AC.$

$\angle PHB$ – угол наклона боковой грани $APC$ к плоскости основания.

Заметим (если $Q$ – центр $ABC$),

 $HQ=\frac{BH}{3}=\frac{\sqrt{BC^2-HC^2}}{3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3.$

Так как $cos PHQ=\frac{3}{5},$ то $\frac{3}{5}=\frac{\sqrt3}{HP}$, откуда $HP=\frac{5}{\sqrt3}.$

Далее, из $\Delta HPQ$   $PQ=\sqrt{(\frac{5}{\sqrt3})^2-(\sqrt3)^2}=\frac{4}{\sqrt3}.$

Если $K$ – точка касания вписанного в пирамиду шара (c центром $O$) с гранью $APC$, то пусть $OK=OQ=r$.

Из подобия треугольников $PQH$ и $PKO$ следует:

$\frac{PH}{PO}=\frac{QH}{KO};$

$\frac{\frac{5}{\sqrt3}}{\frac{4}{\sqrt3}-r}=\frac{\sqrt3}{r};$

$\frac{5}{4-\sqrt3r}=\frac{\sqrt3}{r};$

$5r=4\sqrt3-3r;$

$r=\frac{\sqrt3}{2};$

Рассмотрим второй случай.

Будем искать радиус $r$ вписанного в пирамиду шара через объем пирамиды:

$r=\frac{3V_{ABCP}}{S_{ABCP}}.$

(Доказательство формулы можно посмотреть, например, здесь)

Пусть также, как и в первом случае $Q$ – проекция вершины пирамиды на плоскость основания, $H$ – cередина $AC.$

jnm

Несложно заметить, $HQ=3\sqrt3$.

Тогда $cosPHQ=\frac{3}{5}=\frac{3\sqrt3}{HP}.$

$HP=5\sqrt3.$

Откуда $PQ=\sqrt{HP^2-HQ^2}=\sqrt{75-27}=4\sqrt3.$

Далее, $V_{ABCP}=\frac{1}{3}S_{ABC}PQ=\frac{9\sqrt3\cdot4\sqrt3}{3}=36.$

$S_{ABCP}=3S_{ACP}+S_{ABC}=45\sqrt3+9\sqrt3=54\sqrt3.$

Наконец, $r=\frac{3\cdot 36}{54\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}.$

Ответ: $\frac{\sqrt3}{2}$ или $\frac{2}{\sqrt3}.$

Печать страницы
комментариев 7
  1. Дима

    Почему HQ=3sqrt(3) и почему S_APC=S_APB=S_BCP?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]1) $HQ=3\sqrt3$ – из прямоугольного треугольника $CHQ$ с углом $QCH$, равным $60^{\circ}$ и катетом $CH,$ равным 3.
      2) $S_{APC}=S_{APB}=S_{DCP}$, так как $AB=BC=AC$, а также равны между собой апофемы граней, что следует из равенства треугольников $EPQ,HPQ,FPQ$ (по двум катетам).

      [ Ответить ]
      • Дима

        Понятно. Спасибо:)

        [ Ответить ]
  2. Иосфен

    Вот блин ёмаё,упростить можно?

    [ Ответить ]
  3. Анна

    Никак не могу понять, почему QCH равен 60 градусам. Единственное, к чему пришла: выходит, что треугольники ABC и ACQ равны. Получается, мы сами берём такое построение, чтобы точно знать размеры?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анна, вы имеете ввиду второй случай?
      Так угол ECH равен 120 градусам, потому что он является смежным с углом BCA, равным 60.
      А уж тогда угол QCH равен 60 градусам, поскольку QC – биссектриса угла C.
      Если остались вопросы, обращайтесь ;)

      [ Ответить ]
      • Анна

        Спасибо огромное! :)

        [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




12 + одиннадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif