Задание №16 Т/Р №112 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Основанием пирамиды PABC является правильный треугольник ABC со стороной 6. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол \alpha=arccos0,6. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Решение:

Так как каждая боковая грань образует с плоскостью основания  ABC один и тот же угол, то вершина пирамиды проецируется либо в центр вписанной окружности треугольника ABC, либо в центр вневписанной окружности треугольника ABC.

Рассмотрим первый случай.

Пусть H – середина AC.

Тогда BH\perp AC. По т. о трех перпендикулярах и PH\perp AC.

\angle PHB – угол наклона боковой грани APC к плоскости основания.

Заметим (если Q – центр ABC),

 HQ=\frac{BH}{3}=\frac{\sqrt{BC^2-HC^2}}{3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3.

Так как cos PHQ=\frac{3}{5}, то \frac{3}{5}=\frac{\sqrt3}{HP}, откуда HP=\frac{5}{\sqrt3}.

Далее, из \Delta HPQ   PQ=\sqrt{(\frac{5}{\sqrt3})^2-(\sqrt3)^2}=\frac{4}{\sqrt3}.

Если K – точка касания вписанного в пирамиду шара (c центром O) с гранью APC, то пусть OK=OQ=r.

Из подобия треугольников PQH и PKO следует:

\frac{PH}{PO}=\frac{QH}{KO};

\frac{\frac{5}{\sqrt3}}{\frac{4}{\sqrt3}-r}=\frac{\sqrt3}{r};

\frac{5}{4-\sqrt3r}=\frac{\sqrt3}{r};

5r=4\sqrt3-3r;

r=\frac{\sqrt3}{2};

Рассмотрим второй случай.

Будем искать радиус r вписанного в пирамиду шара через объем пирамиды:

r=\frac{3V_{ABCP}}{S_{ABCP}}.

(Доказательство формулы можно посмотреть, например, здесь)

Пусть также, как и в первом случае Q – проекция вершины пирамиды на плоскость основания, H – cередина AC.

Несложно заметить, HQ=3\sqrt3.

Тогда cosPHQ=\frac{3}{5}=\frac{3\sqrt3}{HP}.

HP=5\sqrt3.

Откуда PQ=\sqrt{HP^2-HQ^2}=\sqrt{75-27}=4\sqrt3.

Далее, V_{ABCP}=\frac{1}{3}S_{ABC}PQ=\frac{9\sqrt3\cdot4\sqrt3}{3}=36.

S_{ABCP}=3S_{ACP}+S_{ABC}=45\sqrt3+9\sqrt3=54\sqrt3.

Наконец, r=\frac{3\cdot 36}{54\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}.

Ответ: \frac{\sqrt3}{2} или \frac{2}{\sqrt3}.

Печать страницы
Комментариев: 7
  1. Дима

    Почему HQ=3sqrt(3) и почему S_APC=S_APB=S_BCP?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) HQ=3\sqrt3 – из прямоугольного треугольника CHQ с углом QCH, равным 60^{\circ} и катетом CH, равным 3.
      2) S_{APC}=S_{APB}=S_{DCP}, так как AB=BC=AC, а также равны между собой апофемы граней, что следует из равенства треугольников EPQ,HPQ,FPQ (по двум катетам).

      [ Ответить ]
      • Дима

        Понятно. Спасибо:)

        [ Ответить ]
  2. Иосфен

    Вот блин ёмаё,упростить можно?

    [ Ответить ]
  3. Анна

    Никак не могу понять, почему QCH равен 60 градусам. Единственное, к чему пришла: выходит, что треугольники ABC и ACQ равны. Получается, мы сами берём такое построение, чтобы точно знать размеры?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анна, вы имеете ввиду второй случай?
      Так угол ECH равен 120 градусам, потому что он является смежным с углом BCA, равным 60.
      А уж тогда угол QCH равен 60 градусам, поскольку QC – биссектриса угла C.
      Если остались вопросы, обращайтесь ;)

      [ Ответить ]
      • Анна

        Спасибо огромное! :)

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif