Задание №16 Т/Р №113 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19, №20.
Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный
треугольник ABC, в котором CB=CA=5, BA=6. Высота призмы равна 10. Точка M – середина ребра AA_1.
а) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MBC_1 и ABC.
б) Вычислите угол между плоскостями MBC_1 и ABC.

Решение:

a) MC_1 и AC, находясь в одной плоскости, пересекаются в точке P.

P\in (ABC), P\in (MBC_1)   и   B\in (ABC),  B\in (MBC_1), то есть PB – прямая пересечения плоскостей (ABC) и (MBC_1).

б) Проведем в плоскости ABC перпендикуляр AH к PB. По теореме о трех перпендикулярах  и MH\perp PB. То есть \angle AHM – угол между плоскостями MBC_1 и ABC.

Несложно заметить, sinCAB=\frac{4}{5}. Тогда и sinBAP=\frac{4}{5}. Кроме того cosCAB=\frac{3}{5} и cosBAP=-\frac{3}{5}.

Заметим, AP=5 (из равенства треугольников PMA и C_1MA_1).

Из треугольника BAP по теореме косинусов:

PB^2=BA^2+PA^2-2BA\cdot PA\cdot cosBAP;

PB^2=36+25+2\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{3}{5};

PB^2=97;

PB=\sqrt{97}.

Для треугольника BAP:

\frac{1}{2}AH\cdot BP=\frac{1}{2}AB\cdot AP\cdot sin BAP;

Имеем:

\sqrt{97}AH=30\cdot \frac{4}{5};

AH=\frac{24}{\sqrt{97}}.

Наконец, tgAHM=\frac{5}{\frac{24}{\sqrt{97}}}=\frac{5\sqrt{97}}{24}.

Ответ: \frac{5\sqrt{97}}{24}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif