Главная / 14 (С2) Стереометр. задачи

16 Апр 2015

Категория: 14 (С2) Стереометр. задачиСтереометрияТ/P A. Ларина

Задание №16 Т/Р №113 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-16 2017-12-30

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный
треугольник $ABC$ , в котором $CB=CA=5$ , $BA=6$ . Высота призмы равна 10. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ .
а) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $MBC_1$ и $ABC$ .
б) Вычислите угол между плоскостями $MBC_1$ и $ABC$ .

Решение:

a) $MC_1$ и $AC$ , находясь в одной плоскости, пересекаются в точке $P.$

$P\in (ABC), P\in (MBC_1)$ и $B\in (ABC), B\in (MBC_1)$ , то есть $PB$ – прямая пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MBC_1)$ .

uyhjk,

б) Проведем в плоскости $ABC$ перпендикуляр $AH$ к $PB$ . По теореме о трех перпендикулярах и $MH\perp PB.$ То есть $\angle AHM$ – угол между плоскостями $MBC_1$ и $ABC$ .

Несложно заметить, $sinCAB=\frac{4}{5}.$ Тогда и $sinBAP=\frac{4}{5}.$ Кроме того $cosCAB=\frac{3}{5}$ и $cosBAP=-\frac{3}{5}.$

Заметим, $AP=5$ (из равенства треугольников $PMA$ и $C_1MA_1$ ).

Из треугольника $BAP$ по теореме косинусов:

$PB^2=BA^2+PA^2-2BA\cdot PA\cdot cosBAP;$

$PB^2=36+25+2\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{3}{5};$

$PB^2=97;$

$PB=\sqrt{97}.$

Для треугольника $BAP:$

$\frac{1}{2}AH\cdot BP=\frac{1}{2}AB\cdot AP\cdot sin BAP;$

Имеем:

$\sqrt{97}AH=30\cdot \frac{4}{5};$

$AH=\frac{24}{\sqrt{97}}.$

Наконец, $tgAHM=\frac{5}{\frac{24}{\sqrt{97}}}=\frac{5\sqrt{97}}{24}.$

Ответ: $arctg\frac{5\sqrt{97}}{24}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (78)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 15 (С3) Неравенства (89)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (79)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (68)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (39)
- Переменка (5)
- Планиметрия (77)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (86)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (444)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Подготовка к ЕГЭ по математике © 2013 - 2019