Задание №16 Т/Р №114 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-23 2017-06-18

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_1=1:4$ , а на ребре $A_1C_1$ взята торчка $M$ так, что $A_1M:MC_1=1:2$ .
а) Определите, в каком отношении плоскость $BKM$ делит ребро $A_1B_1$ призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BKM$ .

Решение:

a) Пусть $MK$ пересекается с $AC$ в точке $T$ , а с $AA_1$ – в точке $N.$ Пусть $NB$ пересекается с $A_1B_1$ в точке $L$ .

Четырехугольник $MLBK$ – искомое сечение.

Треугольник $MC_1K$ – прямоугольный, равнобедренный $(MC_1=KC_1=4)$ . Тогда $\angle KMC_1=45^{\circ}$ , но тогда и $\angle NMA_1=45^{\circ}$ .

Стало быть, $A_1N=A_1M=2$ (из прямоугольного равнобедренного треугольника $A_1NM$ ). (Заметим, для п.б, аналогично $CK=CT=1$ ).

Треугольники $A_1NL, ANB$ подобны, $k=\frac{A_1N}{AN}=\frac{2}{7}$ . Тогда и $\frac{A_1L}{AB}=\frac{2}{7}$ , откуда $A_1L:LB_1=2:5.$

б)

$S_{MLBK}=\frac{S_{M_1L_1BC}}{cos\alpha}$ ,

где $M_1L_1BC$ – проекция $MLBK$ на плоскость $ABC,$ $\alpha =\angle KHC$ – угол между плоскостями сечения и проекции ( $CH\perp BT$ ).

Так как $S_{AL_1M_1}=\frac{AL_1\cdot AM_1\cdot sin 60^{\circ}}{2}=\frac{\frac{2}{7}AB\cdot \frac{1}{3}AC\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{6\sqrt3}{7}$ , то