Задание №16 Т/Р №114 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC_1 взята точка K так, что CK:KC_1=1:4, а на ребре A_1C_1 взята торчка M так, что A_1M:MC_1=1:2.
а) Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A_1B_1 призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.

Решение:

a) Пусть MK пересекается с AC в точке T, а с AA_1 – в точке N. Пусть NB пересекается с A_1B_1 в точке L.

Четырехугольник MLBK – искомое сечение.

Треугольник MC_1K  –  прямоугольный, равнобедренный (MC_1=KC_1=4). Тогда \angle KMC_1=45^{\circ}, но тогда и \angle NMA_1=45^{\circ}.

Стало быть, A_1N=A_1M=2 (из прямоугольного равнобедренного треугольника A_1NM). (Заметим, для п.б, аналогично CK=CT=1).

Треугольники A_1NL, ANB подобны, k=\frac{A_1N}{AN}=\frac{2}{7}. Тогда и \frac{A_1L}{AB}=\frac{2}{7}, откуда A_1L:LB_1=2:5.

б)

S_{MLBK}=\frac{S_{M_1L_1BC}}{cos\alpha},

где M_1L_1BC – проекция  MLBK  на плоскость ABC,  \alpha =\angle KHC – угол между плоскостями сечения и проекции (CH\perp BT).

 

Так как S_{AL_1M_1}=\frac{AL_1\cdot AM_1\cdot sin 60^{\circ}}{2}=\frac{\frac{2}{7}AB\cdot \frac{1}{3}AC\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{6\sqrt3}{7}, то

S_{M_1L_1BC}=S_{ABC}-S_{AL_1M_1}=9\sqrt3-\frac{6\sqrt3}{7}=\frac{57\sqrt3}{7}.

Из треугольника CBT:

CH\cdot BT=CB\cdot CT\cdot sin 120^{\circ}

(расписали площади двумя способами)

А поскольку BT=\sqrt{CT^2+BC^2-2CT\cdot BC\cdot cos120^{\circ}}=\sqrt{43}, то

CH=\frac{3\sqrt3}{BT}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{43}}.

Из треугольника KCH:

KH=\sqrt{KC^2+CH^2}=\sqrt{1+\frac{27}{43}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{43}}.

Тогда cos\alpha =\frac{CH}{KH}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{43}}}{\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{43}}}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt{70}}.

Итак, S_{MLBK}=\frac{S_{M_1L_1BC}}{cos\alpha}=\frac{\frac{57\sqrt3}{7}}{\frac{3\sqrt3}{\sqrt{70}}}=\frac{19\sqrt{70}}{7}.

Ответ: \frac{19\sqrt{70}}{7}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif