Задание №16 Т/Р №114 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_1=1:4$, а на ребре $A_1C_1$ взята торчка $M$ так, что $A_1M:MC_1=1:2$.
а) Определите, в каком отношении плоскость $BKM$ делит ребро $A_1B_1$ призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BKM$.

Решение:

a) Пусть $MK$ пересекается с $AC$ в точке $T$, а с $AA_1$ – в точке $N.$ Пусть $NB$ пересекается с $A_1B_1$ в точке $L$.

Четырехугольник $MLBK$ – искомое сечение.

Треугольник $MC_1K$  –  прямоугольный, равнобедренный $(MC_1=KC_1=4)$. Тогда $\angle KMC_1=45^{\circ}$, но тогда и $\angle NMA_1=45^{\circ}$.

Стало быть, $A_1N=A_1M=2$ (из прямоугольного равнобедренного треугольника $A_1NM$). (Заметим, для п.б, аналогично $CK=CT=1$).

Треугольники $A_1NL, ANB$ подобны, $k=\frac{A_1N}{AN}=\frac{2}{7}$. Тогда и $\frac{A_1L}{AB}=\frac{2}{7}$, откуда $A_1L:LB_1=2:5.$

б)

$S_{MLBK}=\frac{S_{M_1L_1BC}}{cos\alpha}$,

где $M_1L_1BC$ – проекция  $MLBK$  на плоскость $ABC,$  $\alpha =\angle KHC$ – угол между плоскостями сечения и проекции ($CH\perp BT$).

Так как $S_{AL_1M_1}=\frac{AL_1\cdot AM_1\cdot sin 60^{\circ}}{2}=\frac{\frac{2}{7}AB\cdot \frac{1}{3}AC\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{6\sqrt3}{7}$, то

$S_{M_1L_1BC}=S_{ABC}-S_{AL_1M_1}=9\sqrt3-\frac{6\sqrt3}{7}=\frac{57\sqrt3}{7}.$

Из треугольника $CBT:$

$CH\cdot BT=CB\cdot CT\cdot sin 120^{\circ}$

(расписали площади двумя способами)

А поскольку $BT=\sqrt{CT^2+BC^2-2CT\cdot BC\cdot cos120^{\circ}}=\sqrt{43}$, то

$CH=\frac{3\sqrt3}{BT}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{43}}.$

Из треугольника $KCH:$

$KH=\sqrt{KC^2+CH^2}=\sqrt{1+\frac{27}{43}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{43}}.$

Тогда $cos\alpha =\frac{CH}{KH}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{43}}}{\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{43}}}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt{70}}.$

Итак, $S_{MLBK}=\frac{S_{M_1L_1BC}}{cos\alpha}=\frac{\frac{57\sqrt3}{7}}{\frac{3\sqrt3}{\sqrt{70}}}=\frac{19\sqrt{70}}{7}.$

Ответ: $\frac{19\sqrt{70}}{7}.$