Задание №16 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1   AB=BC=8, BB_1=6. Точка K – середина ребра BB_1, точка P – середина ребра C_1D_1. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD_1;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Решение:

а) Плоскость сечения пересечет плоскость BD_1B_1  (в которой лежит BD_1) по прямой (содержащей точку K), параллельной BD_1, так как BD_1 по условию параллельна плоскости сечения. Пусть указанная прямая (параллельная BD_1, содержащая точку K) пересекается с B_1D_1 в точке E  (E – середина  B_1D_1).

Пусть PE пересекается с A_1B_1 в точке L. Соединяем L и K. Проводим в плоскости DCC_1 через точку P прямую, параллельную LK (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Пусть последняя прямая пересекается с CC_1 в точке T (T – середина CC_1).

Параллелограмм LPTK – искомое сечение.

А точнее,  LPTK – прямоугольник, так как LP\parallel A_1D_1 (P– середина D_1C_1 по условию, E – центр  A_1B_1C_1D_1), а A_1D_1\perp AA_1B_1, то есть A_1D_1\perp LK.

Очевидно, LP=8,PT=\frac{D_1C}{2}=5.

S_{LPTK}=5\cdot 8=40.

б) V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=8\cdot 8\cdot 6.

V_{PC_1TLB_1K}=S_{PC_1T}\cdot LP=\frac{4\cdot 3}{2}\cdot 8=6\cdot 8.

Тогда искомый объем есть V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}-V_{PC_1TLB_1K}=8\cdot 8\cdot 6-6\cdot 8=48(8-1)=336.

Ответ: 

а) 40.

б) 336.

Печать страницы
Комментариев: 12
  1. Марат

    Почему E – середина B1D1?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы проводили KE параллельно BD1. Раз K – середина BB1, то и E – середина B1D1 по теореме о пропорциональных отрезках:
      Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки

      [ Ответить ]
      • Марат

        Теорема Фалеса?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Да, следствие из нее.

          [ Ответить ]
  2. Валерия

    Как может быть плоскость параллельна ВD1? И КР параллельна BD1 ??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Прямая параллельна плоскости, если в плоскости найдется прямая, ей параллельная.
      BD1 параллельна KE, значит ВD1 параллельна плоскости, содержащей KE.
      2) KP НЕ параллельна BD1. Откуда вы это взяли?

      [ Ответить ]
  3. Вика

    Елена Юрьевна, помогите!
    В прямоугольном параллепипеде АВСДА1В1С1Д1 известны длины ребер АА1=7, АВ=16, АД=6. Точка К -середина ребра С1Д1.
    а) Докажите, что плоскость, переходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок А1К1.
    б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью АВС.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC – есть тангенс угла между нормалями к плоскостям. Нормаль к ABC – AA_1, например; нормаль к указанной плоскости – AK. Тангенс угла тогда есть 10/7.
      В пункте a не понятно, откуда у вас взялась точка K_1… вы не описали…

      [ Ответить ]
  4. Игнат

    В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны длины ребер: АА1=7, АВ=16, AD=6. Точка К — середина ребра С1D1. Докажите, что плоскость, проходящая через т B перпендикулярно прямой AK пересекает отрезок A1K. Елена Юрьевна, подскажите пожалуйста как решить

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Саму плоскость-то построили?

      [ Ответить ]
      • Ольга

        ПОДСКАЖИТЕ КАК СТРОИТЬ СЕЧЕНИЯ

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Как строить ВООБЩЕ? В двух словах не могу подсказать.
          Как строить конкретно в данной задаче – вроде рассказала.
          Посмотрите построение сечений здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif