Задание №16 Т/Р №116 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$   $AB=BC=8$, $BB_1=6$. Точка $K$ – середина ребра $BB_1$, точка $P$ – середина ребра $C_1D_1$. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Решение:

а) Плоскость сечения пересечет плоскость $BD_1B_1$  (в которой лежит $BD_1$) по прямой (содержащей точку $K$), параллельной $BD_1$, так как $BD_1$ по условию параллельна плоскости сечения. Пусть указанная прямая (параллельная $BD_1$, содержащая точку $K$) пересекается с $B_1D_1$ в точке $E$  ($E$ – середина  $B_1D_1$).

Пусть $PE$ пересекается с $A_1B_1$ в точке $L.$ Соединяем $L$ и $K$. Проводим в плоскости $DCC_1$ через точку $P$ прямую, параллельную $LK$ (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Пусть последняя прямая пересекается с $CC_1$ в точке $T$ ($T$ – середина $CC_1$).

Параллелограмм $LPTK$ – искомое сечение.

А точнее,  $LPTK$ – прямоугольник, так как $LP\parallel A_1D_1$ ($P $– середина $D_1C_1$ по условию, $E$ – центр  $A_1B_1C_1D_1$), а $A_1D_1\perp AA_1B_1$, то есть $A_1D_1\perp LK$.

Очевидно, $LP=8,PT=\frac{D_1C}{2}=5.$

$S_{LPTK}=5\cdot 8=40.$

б) $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=8\cdot 8\cdot 6.$

$V_{PC_1TLB_1K}=S_{PC_1T}\cdot LP=\frac{4\cdot 3}{2}\cdot 8=6\cdot 8.$

Тогда искомый объем есть $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}-V_{PC_1TLB_1K}=8\cdot 8\cdot 6-6\cdot 8=48(8-1)=336.$

Ответ:  а) 40; б) 336.