Задание №16 Т/Р №118 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Решение:

a) Проекция $AC$ прямой $AC_1$ на плоскость  основания $ABC$ перпендикулярна прямой $BE$ плоскости $ABC$, тогда по теореме о трех перпендикулярах $AC_1$ перпендикулярна $BE.$

Что и требовалось доказать.

б) Прямая $BE$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$ (так как $BE\perp CC_1$  и $BE\perp AC_1$), значит перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности, и той прямой ($HQ$, см. рис.), что перпендикулярна при этом $AC_1$.

Очевидно, $AC=2\sqrt3.$

Пусть $CT\perp AC_1.$

Имеем: $CT\cdot AC_1=AC\cdot CC_1$ (расписали дважды удвоенную площадь треугольника $ACC_1$).

Откуда $CT=\frac{2\sqrt3\cdot 3}{\sqrt{(2\sqrt3)^2+3^2}}=\frac{6}{\sqrt7}.$

Заметим теперь, $QH=\frac{CT}{2}=\frac{3}{\sqrt7}.$

Ответ:  $\frac{3}{\sqrt7}.$